 CAPSULITA CULTURAL. ¿Sabías que un número no existe en ninguna parte mas que en tu cerebro? En efecto, el número solo existe dentro de tu cráneo y eso a nivel conceptual, no fisiológico. Por ejemplo, 4 no es el número cuatro sino un símbolo que usamos para representar a la IDEA que nos sugiere el número cuatro (el número de elementos que tiene el conjunto a,b,c,d ) ; otras culturas utilizaron otros símbolos para representar a esa misma IDEA, por ejemplo, los romanos usaron (o usan) el símbolo IV.
CAPSULITA 2: ¿QUÈ ES EL ÀLGEBRA? HABLEMOS DEL ÀLGEBRA ELEMENTAL El àlgebra es la rama de las matemáticas (que algunos llaman "aritmética superior") que responde a la pregunta "¿quién es?". En efecto, así como la aritmética tiene su pregunta ("¿cuánto es?") a la cual debe darle respuesta, el álgebra debe contestar a "¿quién es?". ¿Quién es el valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad-ecuación?. Ejempl en la ecuación x - 8 = -4, PREGUNTA A) ¿quièn es la x que satisface la igualdad? ¿será x= 10? !NO! porque tendríamos 10 - 8 = - 4, o sea 2 = - 4 lo cual no es cierto. El álgebra contesta a la pregunta (A) diciendo que x = 4, pues es cuando se tiene que 4 - 8 = - 4, es decir - 4 = - 4, lo cual es correcto. Para contestar a las diversas preguntas acerca de "¿quién es?", el álgebra se vale de extender a lo general lo que vale con los números particulares; es decir, las propiedades que existen en la aritmética las extiende al número en general. CAPSULITA 3. ¿QUÈ ES LA GEOMETRÌA? HABLEMOS DE LA GEOMETRÌA ELEMENTAL (La que se enseña en los primeros años de la primaria) La geometrìa es la rama de las matemàticas que responde a la pregunta "¿còmo es?". Es decir, la geometrìa es el estudio de LA FORMA. ejemplo: supongamos que un niñito de 3 o 4 años de edad, que por alguna razòn nunca ha visto la luna, le pregunta a su papà _ Papà, ¿CÒMO ES la luna, de la que tanto me ha hablado mamà? Y el papà puede contestar _ Es un tanto esfèrica hijito, tiene LA FORMA que tiene tu pelota. Recordemos que la aritmètica responde a la pregunta "¿cuànto es?" (por ejemplo, si voy a la tienda y compro 2 refrescos de $ 7 c/u y 3 dulces de $ 1 c/u y pago con un billete de $ 50, ¿CUÀNTO ES lo que me tienen que cobrar y CUÀNTO ES lo que me tienen que dar de cambio?). Por lo tanto, entre las dos disciplinas (la aritmètica y la geometrìa) responden a la pregunta "¿cuànto mide?". ejemplo: ¿CUÀNTO MIDE el àrea de la superficie de la pelota (o CUÀNTO MIDE el volumen) de la pelota del niño mencionado màs arriba en èsta capsulita? CAPSULITA 4. ¿QUÈ ES LA GEOMETRÌA ANALÌTICA? HABLEMOS DE LA GEOMETRÌA ANALÌTICA ELEMENTAL (la que nos enseñan en la prepa). La geometrìa analìtica es la rama de las matemàticas que contesta a la pregunta "¿Dònde està(n)?" Para responder a su pregunta, la geometrìa analìtica se vale de hacer un "revoltijo" de àlgebra y geometrìa en el plano cartesiano. Ejemplo 1) ¿DONDE EST el punto medio del segmento cuyos extremos son A( - 2, 3) y B(2,5)? (punto medio de un segmento). Aquì, la geometrìa analìtica contesta : ESTÀ en el punto de coordenadas (0,4). Ejemplo 2) ¿DÒNDE ESTÀN los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante? (Elipse). Aquì, la geometrìa analìtica darà una respuesta implìcita en una igualdad de segundo grado con dos variables : ESTÀ en los puntos (x,y) que satisfacen, por ejemplo, Ax² + By² = k. Ejemplo 3) Etc. Ejemplo 4) Con el actual sistema de coordenadas de meridianos y paralelos que envuelve a nuestro planeta tierra, ¿DÒNDE ESTÀ el DF(Mèxico)? La respuesta se te queda de tarea, estimado lector. La geometrìa analìtica fuè inventada en el siglo XVII por el filòsofo y matemàtico francès Renè Descartes y fuè asì como el hombre incluyò en su quehacer matemàtico al ESPACIO ademàs de la forma. Estaba apenas por venir, poquito despuès, una teorìa matemàtica que incluirìa tambièn al TIEMPO. ESTIMADO LECTOR, quiero regalarte la primera versiòn de mi libro, titulado "¿QUÈ HACE UN MATEMÀTICO?" . Para descargarlo, dale clic en el siguiente link que hace un matematico . (ya intentè subir el archivo como 4 o 5 veces y no lo he logrado. Pònte atento porque seguirè intentàndolo) Aunque tiene un par de errorcillos, estoy seguro que te servirà. Tambièn tengo la segunda versiòn, aumentada, pero esa sì està a venta. CAPSULITA 5. ¿QUÈ ES EL CÀLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL? HABLEMOS DEL CÀLCULO ELEMENTAL (el que nos enseñan en la prepa) El càlculo es la rama de las matemàticas que responde a la pregunta "¿Còmo se està moviendo?" Ejemplo 1. Se lanza una piedra hacia arriba desde una altura de 20 metros con una velocidad inicial de 5 m/s. Halla : a) Su velocidad un segundo despuès de haber sido lanzada. b) el tiempo que tarda en llegar al suelo. c) la velocidad cuando llega al suelo. Aquì, las respuestas que da el càlculo a cada inciso son : (a) - 4.8 m/s ; (b) aprox. 2.59 segs ; (c) - 20.42 m/s. Ejemplo 2. El dueño de una huerta de manzanas calcula que si se siembran 50 àrboles por hectàrea entonces cada àrbol maduro darà unas 600 manzanas al año. Por cada àrbol màs que se siembre por hectàrea el nùmero de manzanas producidas por un àrbol al año disminuirà en 6. ¿Cuàntos àrboles deben sembrarse por hectàrea para obtener el mayor nùmero de manzanas posible? Aquì, el càlculo responde que deben sembrarse 75 àrboles por hectàrea y se obtendràn 33750 manzanas al año. En èste ejemplo 2 te preguntaràs ¿dònde està el movimiento? Lo que pasa es que en la soluciòn del problema hay una variable independiente, el nùmero de àrboles, que se mueve (que cambia de valor) y en su movimiento hace moverse a otra variable, el nùmero de manzanas (llamada esta ùltima, variable dependiente) formàndose asì una relaciòn llamada FUNCIÒN. Las FUNCIONES son la "materia prima" del càlculo y en èste la variable indpendiente no necesariamente es el tiempo y la variable dependiente no necesariamente es distancia recorrida, ni velocidad o aceleraciòn. Para responder a su pregunta, el càlculo se sirve de una nueva operaciòn (ademàs de suma, resta, multiplicaciòn, divisiòn, exponenciaciòn y radicaciòn) : la de LÌMITE. La derivada es un lìmite y la integral (definida) tambièn es un lìmite. El càlculo es inventado tambièn en el siglo XVII, poco despuès de la apariciòn de la geometrìa analìtica, por el inglès Newton y el alemàn Leibnitz (de modo independiente). Asì es como el hombre, obligado por sus necesidades al arribar a una nueva sociedad, incorpora a su acervo matemàtico el estudio del movimiento en el TIEMPO y en el ESPACIO. Por lo tanto, podemos visionar, al menos hasta èste momento (la prepa, o bien, los tiempos de Newton y Leibnitz. Este parèntesis aclaratorio se hizo necesario debido al "trabajo" de mis detractores), que la matemàtica es la cuantificaciòn del universo (UNIVERSO = MATERIA/ENERGÌA. Y hoy se sabe que la materia es energìa ultracondensada y que la energìa es materia ultradiluìda) en el tiempo y en el espacio. INSISTO : El movimiento que estudia el càlculo y el cual puede percibirse en el ejemplo 2 de esta quinta capsulita va màs alla del movimiento meramente mecànico del ejemplo 1. CAPSULITA 6. ¿QUÈ ES LA PROBABILIDAD? HABLEMOS DE LA PROBABILIDAD DE LA QUE NOS HABLAN EN LA PREPA. La probabilidad es la rama de las matemàticas que responde a la pregunta "¿Què tan posible es que ocurra A bajo su incertidumbre?" Ejemplo: Se lanza un dado legal de 6 caras, ¿què tan posible es que caiga un nùmero par? La teorìa de probabilidades podrìa responder diciendo que : " Como no hay CERTEZA (lanzar un dado no es un fenòmeno determinìstico) sino INCERTIDUMBRE (es un fenòmeno aleatorio), expresemos con nùmeros lo que nos diga el sentido comùn. En principio, podrìamos dar un numerito de alguna escala y decir, por ejemplo: En la escala de 0 a 10 (donde 0=imposible que caiga nùmero par y 10=es seguro que caiga nùmero par), la probabilidad de que caiga nùmero par es 8. Para asignar este 8 como respuesta a la pregunta que nos hacen, pudimos habernos basado (en el sentido comùn) en la forma CLÀSICA con la que se procedìa desde los primeros años de la probabilidad o en la forma FRECUENCIAL (tirando muchas veces el dado y contar cuàntas veces cayò nùmero par) o de modo SUBJETIVO (me "late" que la probabilidad es 8)" Se dice que la probabilidad naciò entre los siglos XVI y XVII DC de los juegos de azar y los pioneros expresaban su sentido comùn con fòrmulas. Desde entonces esa expresiòn del sentido comùn se ha desarrolado hasta tener la forma tan elaborada que conocemos hoy. Aunque desde el punto de vista axiomàtico naciò siendo incoherente, la teorìa de probabilidades es axiomatizada en 1933 por el matemàtico soviètico Kolmogorov. Una versiòn simplificada de la axiomatizaciòn de Kolmogorov puede ser la siguiente: Para cualquier espacio muestra finito S={a, b, ... , }, la probabilidad de un evento E es un nùmero P(E) tal que se cumplen los siguientes axiomas de probabilidad. i) 0 es menor o igual que P(E) ii) 1=P(S) iii) Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A U B)=P(A)+P(B). De èste modo , no importa còmo asignemos probabilidades a los eventos (si de modo clàsico, frecuencial o subjetivo). Mientras se cumplan los axiomas, valdràn todos los resultados que de ellos se deduzca. Asì las cosas, y regresando a nuestro problema del ejemplo, el espacio muestra (conjunto de todos los resultados posibles de un fenòmeno aleatorio) puede ser S={1,2,3,4,5,6} y el evento A que nos interesa es A={2,4,6}. Entonces, segùn Kolmogorov y la forma CLÀSICA : P(A)= 3/6 = 1/2. Reportaremos nuestro resultado diciendo que "es igualmente probable que caiga nùmero par de puntos en el dado que cualquier otro (impar) de los demàs resultados posibles". Por supuesto que la humanidad se ha beneficiado mucho de la teorìa de probabilidades, pues tiene muchas aplicaciones tanto en los casinos y compañìas de seguros como en la fìsica, la biologìa, la medicina, las ciencias sociales, etc, en donde el hombre necesita cuantificar acerca de hechos (sucesos, eventos) bajo incertidumbre. CAPSULITA 7. ¿QUÈ ES LA ESTADÌSTICA? HABLEMOS DE LA ESTADÌSTICA QUE NOS ENSEÑAN EN LA PREPARATORIA. La estadìstica es la rama de las matemàticas que responde a la pregunta "¿Cuàl serà el valor del nùmero (paràmetro) que busco en la poblaciòn, si solo tengo este otro nùmero (estimador) de una muestra de la poblaciòn, como dato?". Ejemplo : Supongamos que el director de investigaciòn de mercados necesita una estimaciòn en meses de la vida promedio de las baterìas para automòvil fabricadas por su compañìa. Podemos seleccionar una muestra aleatoria de 200 baterìas, registrar los nombres de los dueños de automòviles y sus domicilios que se conservan en los archivos de la tienda y entrevistarlos respecto a la vida de la baterìa que han usado. La muestra de 200 usuarios tiene una vida media de 36 meses y se sabe que la desviaciòn estàndar de la poblaciòn de las baterìas es de 10 meses. a) Darle al director la estimaciòn que pide. b) El director tambièn pide una informaciòn sobre la incertidumbre que seguramente acompaña a la estimaciòn; es decir, una declaraciòn sobre el intervalo en que posiblemente se halle la media desconocida de la poblaciòn. La estadìstica responde que : a) Podemos emplear la estimaciòn puntual de 36 meses (de la muestra) como el mejor estimador de la media de la poblaciòn. b) Se le puede decir al administrador : " Nuestra mejor estimaciòn de la vida de las baterìas de la compañìa es de 36 meses, y tenemos una confianza de 68.3 % de que la vida de ellas se encuentra en el intervalo (35.29 , 36.71 )". Aquì, el paràmetro es el nùmero que es la verdadera media de la poblaciòn, el cual desconocemos. Y el estimador es 36. Para responder a las diversas formas de su pregunta, la estadìstica se sirve, entre muchas otras cosas, de un proceso inductivo (de lo particular, la muestra , a lo general, la poblaciòn). Puesto que ningùn proceso inductivo es 100 % confiable, el riesgo de equivocarse en la inducciòn estadìstica se mide en tèrminos de probabilidad ( " ... y tenemos una confianza de 68.3 % de que ... "). Hoy es viernes 18 de julio de 2008 y desde mi triste condiciòn de desempleado continùo escribiendo capsulitas. Estas capsulitas son un muy modesto regalo de Timoteo Pèrez D. para el mundo. CAPSULITA 8. ¿QUÈ ES LA LÒGICA? HABLEMOS DE LA LÒGICA QUE NOS ENSEÑAN EN LA PREPARATORIA. Lògica es la disciplina que responde a la pregunta "¿Es vàlida y verdadera mi conclusiòn?" Ejemplo: Cuando alguien dice "puesto que 6 es par o impar" y "6 no es impar", luego entonces "6 es par". Es vàlida y verdadera mi conclusiòn "6 es par"? La lògica responde que sì, es verdadera (¿acaso es falso que "6 es par"?) y es vàlida pues todo el razonamiento es un ejemplo de la forma modus tollendo ponens, la cual es una de las llamadas leyes lògicas de implicaciòn (es decir, la tabla de verdad de la proposiciòn condicional correspondiente es tautològica -verdadera en todos los casos). La validez se refiere a la correcta forma que hay en los 3 entrecomillados (del ejemplo) y a la relaciòn entre ellos. La veracidad (de cualquiera de los 3 entrecomillados) se refiere al apego a la realidad. La verdad es estudiada por la rama de la lògica llamada LÒGICA MAYOR (o LÒGICA MATERIAL) y la validez es estudiada por la otra rama de la lògica llamada LÒGICA MENOR (o LÒGICA FORMAL). Aunque el ejemplo pudiera parecer tonto o trivial, el esfuerzo intelectual que hay de por medio para poder decir "SÌ, LA CONCLUSIÒN ES VÀLIDA Y ES VERDADERA" es ni màs ni menos que el que han venido desplegando numerosos pensadores desde la antigua Grecia. Entre otras cosa, fuè necesario hacer abstracciones (concepto, proposiciòn, razonamiento) y estudiar la relaciòn entre ellas. El razonamiento puede ser deductivo, inductivo o analògico y el del ejemplo que doy es deductivo. Sin duda, una de las mejores aplicaciones de la lògica tiene lugar en la ciencia, donde a base de razonamientos el conocimiento cientìfico avanza. Para responder a su pregunta, "¿es vàlida y verdadera mi conclusiòn?" el hombre ha venido utilizando sobre todo, en ùltima instancia, su concepciòn filosòfica pues ha habido filòsofos que consideran a la lògica como una herramienta de la filosofìa y ha habido quien la considerò una rama de la filosofìa. resulta que anteayer sàbado 19 de julio estuve buena parte de la tarde adaptando mi libro "¿què hace un matemàtico?" para protegerlo con derechos de autor, pero cuando hoy lunes 21 iba yo a continuar, resulta que todo el trabajo del sàbado desapareciò. Sospecho de algùn hacker o cracker. O sea que ¿tampoco me dejaràn trabajar en èsta direcciòn? ademàs de desempleado. CAPSULITA 9. ¿QUÈ ES LA LÒGICA MATEMÀTICA? HABLEMOS DE LA LÒGICA MATEMÀTICA QUE NOS ENSEÑAN EN LA PREPARATORIA La lògica matemàtica es la continuaciòn de la lògica filosòfica menor o formal (ver capsulita 8 anterior) deductiva que responde ùnicamente a la pregunta "¿Es vàlida esta estructura de razonamiento(s)?". En efecto, la lògica matemàtica se olvida de la verdad (o falsedad) del contenido de los pensamientos y solo atiende a la validez de las estructuras, tanto de las premisas como de la conclusiòn y todo el razonamiento mismo (los contenidos de los pensamientos pueden ser proposiciones matemàticas o proposiciones de alguna otra disciplina, fìsica, quìmica, etc.). Pero todo lo anterior lo hace utilizando sìmbolos usados en matemàticas, por ello se le llama lògica matemàtica. Ejemplo: Demostrar r a partir de (i) p →(q v r); (ii) p ; (iii) ~q Demostraciòn : de (i) y (ii) obtenemos (iv): q v r (por modus ponendo ponens). De (iii) y (iv) obtenemos r (por modus tollendo ponens). El atender solo a la estructura ha permitido entre otras cosas, la "mecanizaciòn material" de algunos procesos-forma del pensamiento, por ejemplo en la electrònica digital; con el llamado càlculo proposicional o àlgebra booleana se pueden simplificar circuitos de modo que se gaste el menor nùmero posible de chips ( pastillas de circuitos integrados). Ademàs, la "mecanizaciòn material" està presente en las compuertas de los Chips y son el fundamento, la base ùltima, sobre el que descansa la Inteligencia Artificial de las actuales computadoras. Algunas ramas de la lògica matemàtica son : Lògica proposicional, lògica cuantificacional, lògica de clases, lògica de las relaciones, semiòtica. Como tarea puedes investigar de què tratan, mi estimado cibernauta. Serà una muy buena tarea. CAPSULITA 10. ¿QUÈ ES LA CIBERNÈTICA? HABLEMOS DE LA CIBERNÈTICA QUE NOS ENSEÑAN EN LA PREPARATORIA La cibernètica es una ciencia interdisciplinaria que estudia a la retroalimentaciòn y a sus conceptos derivados tales como la comunicaciòn y control en las màquinas, en los organismos vivos y en las organizaciones. Ejemplos : En las màquinas : Cuando hacemos trabajar una plancha (para planchar ropa) conectàndola al tomacorriente y giràndole la perilla de encendido, ella empieza a trabajar sola, SIN INTERVENCIÒN HUMANA. Inicialmente, un termostato cierra el circuito con la resistencia que produce el calor y la plancha empieza a calentarse; cuando el calor sube hasta cierto nivel, dobla al termostato y el circuito se abre con lo que la plancha deja de calentarse y empieza a enfriarse; cuando la temperatura baja hasta cierto nivel, el termostato se endereza a su forma normal y el circuito vuelve a cerrarse con lo que la plancha empieza nuevamente a calentarse, y asì sucesivamente. De este modo es como la plancha se mantiene màs o menos a un mismo nivel de calor. En la terminologìa cibernètica, al termostato, que es lo que controla al sistema (plancha) se le llama "timonel" ( o "gobernador"). En este ejemplo, el timonel recibe "informaciòn" en forma de calor respecto a la temperatura de la plancha. Asì, mediante retroalimentaciòn el sistema se mantiene en equilibrio (es decir, la temperatura de la plancha se mantiene constante). Aquì, el funcionamiento automàtico de la plancha se basa en un termostato. En los organismos vivos: La vida de un animal depende de un eficaz mantenimiento de la temperatura corporal dentro de determinados lìmites. Esto puede regularse aumentando o disminuyendo la producciòn y la pèrdida de calor segùn sea necesario, ¿còmo se logra tal regulaciòn? Existe en los animales de sangre caliente un òrgano situado en la base del cerebro, el cual trabaja como un termostato; En verdad se trata de un tipo de termostato. En un dìa càlido, o como resultado de un gran esfuerzo muscular, la temperatura del cuerpo tiende a aumentar. El control termostàtico comienza entonces a funcionar. Se envìan los mensajes necesarios a lo largo de las fibras nerviosas que desembocan en las zonas donde los diminutos vasos sanguìneos se hallan pròximos a la piel, los vasos se dilatan, la piel se congestiona y queda facilitado el enfriamiento. Ademàs de esto - y se trata de algo vital cuando la temperatura del aire es elevada - se activan las glàndulas sudorìparas y el evaporar de la transpiraciòn enfrìa el cuerpo. Por otra parte, si la temperatura corporal tiende a disminuìr, el calor se conserva de varias maneras y comienzan los estremecimientos destinados a aumentar la producciòn de calor. La tendencia al mantenimiento del equilibrio manifiesta lo que el fisiòlogo estadounidense W. B. Cannon ha llamado principio de la homeòstasis. En las organizaciones : Tarea para el cibernauta. Al igual que en otros casos en donde al menos dos disciplinas convergen, la cibernètica ofrece un vocabulario ùnico que puede aplicarse a diversas situaciones. CAPSULITA 11. ¿QUÈ ES UNA COMPUTADORA? Es la ùltima herramienta construìda por el hombre - a mediados del siglo XX DC - la cual le muntiplica el potencial intelectual de modo parecido a como el camiòn le multplicò la potencia mecànica. La computadora puede ser analògica (mide), digital (cuenta) o hìbrida. La analògica es màs ràpida que la digital pero es màs imprecisa que esta ùltima; la digital es màs lenta que la analògica pero es mas precisa que esta ùltima. Lo que hacen los sistemas hìbridos es optimizar el compromiso precisiòn-rapidez. Las caracterìsticas màs distintivas respecto a otras herramientas tanto de hoy como del pasado, de las actuales computadoras electrònicas digitales son : a) que son de programa almacenado (en la memoria de la màquina), y b) que tienen capacidad de decisiòn (gracias a la UAL de la CPU). En efecto, puede almacenarse un conjunto de instrucciones (programa) en la memoria tal que sean ejecutadas una tras otra SIN INTERVENCIÒN HUMANA (esto es lo que convierte a la computadora en el "cerebro" - el timonel o gobernador - de los sistemas cibernetizados) en un proceso conocido como FETCH. Por otro lado, en la UAL de la CPU tienen lugar las comparaciones sobre cuya base la màquina decidirà una u otra acciòn (esto ùltimo facilita la Inteligencia Artificial). El impacto de èsta nueva herramienta (la computadora) en la matemàtica fuè que se reorientaron algunas ramas de esa ciencia y aparecieran otras, por ejemplo el "anàlisis numèrico" que es el estudio de la resoluciòn de problemas matemàticos usando una computadora. O sea que ahora ademàs de tomar en cuenta los errores de modelado(por ejemplo despreciar la fricción del aire en estudios de movimientos de proyectiles), los de mediciòn de datos(debidos al pulso o a los instrumentos de medición o etc) y los matemàticos(por ejemplo, aproximar una integral mediante una sumatoria), se deberàn considerar los que se derivan del "sistema de punto flotante" de la computadora (finitud, no-densidad, cancelaciòn catastròfica, etc). Fuè en la primera mitad del siglo XIX dc cuando el matemàtico inglès Charles Babbage (1791-1871) tuvo la idea de diseñar una màquina de programa almacenado y su alumna y amiga Ada fuè quien diseñò un conjunto de instrucciones para la màquina de su maestro. Dicha màquina no se construyò (al menos no hasta estar 100 % terminada) debido principalmente a las limitaciones tecnològicas de aquella època; fuè necesario que transcurrieran alrrededor de 100 años para poder materializar el diseño de la màquina de Babbage. En èsta ocasiòn, lo que le dejo de tarea al cibernauta es que investigue cuàles son las diferencias cuantitativas y cuàles las cualitativas, respecto a las actuales computadoras, de las computadoras cuànticas que vienen en camino. Aquì terminan las capsulitas culturales, espero que el lector las haya disfrutado, Lo que sigue es un poco de repaso de matemàticas a nivel licenciatura en forma de 20 retos semanales (uno cada viernes) Al lector ordinario (normal, sobrio,lùcido): A tì que tuviste la madurez para verme como un matemàtico normal dedicado a la enseñanza a nivel medio y supiste que mi trabajo debìa ser respetado aunque me hubiera decidido por dedicarme a educador de preescolar (porque eso tambièn tiene sus dificultades, ademàs de que es una muy noble labor), y nunca te dejaste llevar por los esquemas psicològicos agresivos a mi persona con los que te incitaban mis detractores, te doy las gracias por tu fina atenciòn. A mis detractores : A continuaciòn tendràn ustedes 20 sencillos retos semanales (uno cada viernes) con los cuales pueden ustedes empezar a convencer de que son màs que preparatoria (por aquello de que han estado ustedes llamàndome "preparatorio") y que efectivamente son ustedes matemàticos mayores (por aquello de que han estado ustedes llamàndome "matemàtico menor"). Señores, el trabajo es individual; si lo hicièran en equipos de por ejemplo 10 o 15, siento decirles que no podrìan los 10 o 15 sentirse "matemàticos mayores" puesto que les habrìa sido necesario formar semejante equipote para superar los retos; creo que cada uno de los 10 o 15 apenas alcanzarìa segundo de primaria suponiendo que `por "matemàtico mayor" deba entenderse doctor. Por supuesto, no por el hecho de plantearles los siguientes retos considerarè haber superado mi condiciòn de licenciado pues me precio de estar centrado. RETO 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales : i) este sistema es de 5x3 x - y - 2z = 0 2x - y - 3z = 1 y - z = 1 x - z = 1 x + 2y + z = 3 ii) este sistema es de 4x3 x + y + z = 3 x + y - 3z = - 1 2x + y - 3z = 1 x + 2y - 2z = 1 iii) este sistema es de 5x5 a - b + c + d + 2e = -1 - a + b +c + d - 4e = 3 - a - b + c + d - 2e = 3 a - 2b +c + 2d + 3e = - 1 - 4b + c + 5d + 3e = 1 (Hint : álgebra) Espero que mis detractores no se salgan por la tangente ignorando estos 20 retitos y cumplan con su obligaciòn moral (que ellos mismos se impusieron) de resolverlos todos sin ningùn error. RETO 2. Con cada una de las siguientes 6 expresiones, escribe la ecuaciòn canònica, bosquejando la gràfica en los sistemas x - y, x`- y` y/o x`` - y`` segùn corresponda. 1) x² - xy + y² + 2x -y - 5 = 0 2) xy = 4 3) 3x² + 2(3)^(1/2)xy + y² + 4x - 4(3)^(1/2)y - 16 = 0 4) 5x² - 6xy + 5y² = 0 5) 2x² + 4(3)^(1/2)xy - 2y² = 0 6) 7x² - 4xy - 4y² = 240 NOTA : Utilizo el gorrito ^ para denotar exponenciaciòn. (Hint : Geometría Analítica bidimensional. Cónicas rotadas o trasladadas) RETO 3. CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS VISIBLES PERO INACCESIBLES. Ejemplo: Calcular la distancia entre 2 barcos que ves a lo lejos desde la playa (estando tù en la playa); no puedes hacer la mediciòn directa, solo puedes hacer construcciones auxiliares en la playa para hacer la mediciòn de manera indirecta. (¿cuànto mide la distancia entre los 2 barcos?) (Hint : Geometría) RETO 4. A) Calcular las raíces quintas del número complejo (- 4, 2). B) Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones : i) 4x^3 + 7x² + 11x + 6 = 0 ii) x^4 - 3x^3 + 4x² - 9x + 3 = 0 (Hint : álgebra) De una vez aprovecho para plantear el reto del viernes 12 de septiembre : RETO 5. 1) SIMPLIFICA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE CONICOIDES mediante las apropiadas rotación o traslación de los ejes. Identifica las superficies cuádricas. a) 2xy + 2xz + 2y - 5 = 0 b) 2xy + 2xz + 2yz - 4x + 6y - 3 = 0 c) 2x² + 2y² + 2z² - xy + xz - yz - 6 = 0 d) 2x² + 2y² + 3z² + 2xy - 4x + y - 12z + 7 = 0 e) 3z² + 4xy + 2xz + 2yz - 4x + 10y - 2z + 8 = 0 f) 3x² - y² - 3z² - 4xz + 2 = 0 (Hint : Geometría analítica tridimensional) 2) El punto A sobre el planeta tierra tiene coordenadas 25 grados de longitud oeste y 35 grados de latitud norte; el punto B, también sobre la tierra, tiene coordenadas 15 grados de longitud este y 10 grados de latitud sur. Idealizando suponiendo que la tierra es una perfecta esfera de radio 6400 kilómetros, calcule la distancia de A a B. (ojo : es un arco de circunferencia) El reto correspondiente al viernes 19 de septiembre (2008) es: RETO 6. a) Verifique la regla de la cadena con f(u, v, w)= u + v² - w² y u(x, y, z) = x²y; v(x, y, z)= y² ; w(x, y, z)= e^(- xy) b) Calcule el desarrollo de Taylor (polinomio de Taylor) de orden 2 en (0, 0, 0, ... , 0) y su residuo. Donde f(x1, x2, ... , xn)= (x1)² + (x2)² + ... + (xn)² + (x1)^3 + (x2)^3 + ... + (xn)^3 c) Encontrar los valores máximos y mínimos de x² + y² + z² sujetos a (x²/4 + (y²/5) + (z²/25) = 1 y z= x + y d) Encontrar el valor máximo de f(x, y, z) = xy²z^3 sujeto a x + y + z= 6 con x>0, y>0, z>0. (Hínt : Cálculo diferencial en varias variables) El reto correspondiente al viernes 26 de septiembre es : RETO 7. A) Diagonalizar la siguiente matríz A de 2x2, donde el primer renglón de A es ( 1, 1) y su segundo renglón también es (1, 1). Exhibir la correspondiente matríz Q. B) Diagonalizar la siguiente matríz B de 3x3, donde el primer renglón de B es (1, 1, 0) ; el segundo renglón es (0, 1, 3) y el tercer renglón es (0, 0, 2). Exhibir la correspondiente matríz Q. C) Diagonalizar la siguiente matríz C de 3x3, donde el primer renglón de C es (4, 0, 1) ; el segundo renglón es (2, 3, 2) y el tercer renglón es (1, 0, 4) . Escribir la correspondiente matríz Q. (Hint : Algebra lineal) RETO 8 (viernes 3 de octubre 08). Resuélva los siguientes problemas : i) Considere usted un juego que consiste en tirar tres monedas reglamentarias y recibir un peso por cada águila obtenida, ¿cuánto esperaría ganar si juega usted una vez? ii) Un motor de automóvil de 8 cilindros tiene dos bujías que fallan. Si se quitan las cuatro bujías de un lado del motor, ¿cuál es la probabilidad de que entre éstas estén las dos que fallan? iii) Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es de 0.2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado? b) ¿Cuàl es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solo puede perforar un máximo de 10 pozos? iv) Un gran lote de llantas contiene 10 % de defectuosas; del lote se elegirán 4 para colocarlas en un automóvil. a) Encuentre la probabilidad de que 6 llantas deban seleccionarse del lote para obtener 4 en buen estado. b) Calcule el valor esperado y la varianza del número de elecciones que deben efectuarse para obtener 4 llantas sin defectos. v) Las probabilidades de que un delegado llegue por avión, autobús, automóvil o tren a cierta convención son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente, tres hayan llegado por avión , 3 en autobús, uno en automóvil y dos en tren? vi) La cantidad diaria en litros de café despachada por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria X, la que tiene una distribución uniforme contínua con a=7 y b=10. Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de café despachada por esta máquina sea : a) cuando mucho 8.8 litros, b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5, c) al menos 8.5 litros. vii) Se estima que el tiempo transcurrido hasta la falla del cinescopio de un televisor se distribuye exponencialmente con media de tres años. Una compañía ofrece garantía por el primer año de uso. ¿Qué porcentaje de las pólizas tendrá que pagar una reclamación? viii) La cantidad X total de lluvia durante 4 semanas en una región del centro de méxico tiene casi una distribución tipo Gamma con Alfa= 1.6 y Beta= 2.0. Determine la media y la varianza de la cantidad total de lluvia durante 4 semanas. ix) Si la proporción de televisores de una marca que requiere servicio durante el primer año de operación es una variable aleatoria que tiene una distribución beta con alfa= 3 y beta= 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 80 % de los nuevos modelos que se vendan este año requieran servicio durante su primer año de operación? x) El tiempo necesario para lograr una mezcla correcta de polvos de cobre antes de sintetizarlos tiene una probabilidad de Weibull con gamma= 1.1 y Teta= 2. Calcular la probabilidad de que una mezcla adecuada tome menos de dos minutos. (Hint : Probabilidad ). Por un amigo me enteré de que mis detractores, para evitar resolver estos retos, se autodenominan críticos y no detractores, según ellos. Me gusta el ridículo que hacen tratando de evitar cumplir con su obligación moral . Bien dice el dicho que " por su hocico murió el pescado " RETO 9 (viernes 10-octubre-08). Resuelva los siguientes problemas : i) En un estudio usando niños retrasados educables, 11 niños y 10 niñas, después de un año de enseñanza académica combinada con terapia, se les calificó en relación con sus logros. La calificación media para los niños fue de 67 y para las niñas, 61.5. Si es razonable suponer que las calificaciones para niños semejantes, bajo circunstancias semejantes, están distribuídas normalmente con desviaciones estándar SIGMA1= 11 y SIGMA2 = 10, encontrar a) El intervalo de confianza del 90 % para MU1 - MU2 b) igual que (a) pero del 95 % c) igual que (a) pero del 99 % ii) De una muestra de 150, seleccionada de los pacientes que se admitieron en un gran hospital durante un período de dos años, 129 tenían algún tipo de seguro de hospitalización. En una muestra de 160 pacientes seleccionados de manera semejante, de un segundo hospital, , 144 tuvieron algún tipo de seguro de hospitalización. Encontrar el intervalo de confianza del 90, 95 y 99 % para la diferencia verdadera entre las proporciones de las poblaciones. iii) Una muestra de 25 niños de 10 años proporcionaron un peso medio y una desviación estándar de 36.5 y 5 kg, respectivamente. Suponiendo una población normalmente distribuída, encontrar los intervalos de confianza del 90, 95 y 99 % para la media de la población de la cual provino la muestra. iv) El administrador de un hospital desea estimar el peso medio de los bebés nacidos en su hospital. ¿Qué tan grande debe tomarse una muestra de los registros de nacimientos si desea un intervalo de confianza del 99 % que tenga 500 gramos de ancho? Supóngase que resulta razonable estimar a SIGMA como 500 gramos. ¿Qué tamaño de muestra se requiere si se baja el coeficiente de confianza hasta 0.95? v) Se está planeando una encuesta con el fin de determinar qué proporción de familias en cierta área son médicamente indigentes. Se desea un intervalo de confianza del 95 % y que la mitad de dicho intervalo sea 0.05. ¿Qué tamaño de la muestra de familias debe seleccionarse si no se cuenta con una estimación de p y tiene que usarse p=0.5? vi) Dedúzcanse las "ecuaciones normales" de la regresión lineal simple. vii) Un club de salud ha estado anunciando un riguroso programa de acondicionamiento físico. El club sostiene que, al cabo de un mes en el programa, el participante promedio será capaz de hacer en 2 minutos ocho planchas más de las que podía hacer al inicio del programa. ¿Apoya esta afirmación del club la muestra aleatoria de 10 participantes en el programa que se anexa aquí? Use el nivel de significancia de 0.025. Participantes : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes : 38 11 34 25 17 38 12 27 32 29 Después : 45 24 41 39 30 44 30 39 40 41 (Hínt : Estadística) RETO 10 (viernes 17-Octubre-08). En lo que sigue utilizaré el símbolo § para denotar integral. Así, §§ sería integral doble. En cada uno de los siguientes 3 ejercicios evalúe la integral dada, en la región R del plano x -y indicada, haciendo el cambio de variables indicado: i) §§(x - y)²cos²(x+y)dxdy; R es la región acotada por el cuadrado con vértices (0, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 0) ; u = x - y, v= x+y. ii) §§(x² + 2y²)dxdy; R es la región acotada por las gráficas de xy=1, xy=2, y=x, Y=2x; x= u/v , y=v. iii) §§(2y+x) / (y-2x)dxdy ; R es el trapecio con vértices ( -1, 0), ( -2, 0), (0, 4), (0, 2) ; u = y - 2x, v= 2y + x. (Hínt : Cálculo integral en varias variables) RETO 11 (viernes 24 de octubre - 2008). i) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ya sea por eliminación sistemática o por determinantes: dx/dt - 6y = 0 x - dy/dt + z = 0 x + y - dz/dt = 0 ii) En el siguiente problema usar la transformada de Laplace para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales : d²x/dt² + 3dy/dt + 3y = 0 d²x/dt² + 3y = t/e^t con x(0) = 0; x`(0) = 2; y(0) = 0 iii) Sea la matríz A(t) de 2x2 definida del siguiente modo : El primer renglón de A es ( 1/(t² + 1) , 3t) y el segundo es (t² , t). Sea también la matríz B(t) de 2x2 definida del siguiente modo: El primer renglón de B es (6t , 2) y el segundo es (1/t , 4t) Encuente: a) dA/dt ; b) dB/dt ; c) calcular la integral definida de 0 a 1 de §A(t)dt ; d) la integral definida de 1 a 2 de §B(t)dt ; e) A(t)B(t) ; f) dA(t)B(t)/dt ; g) Calcule la integral definida de 1 a t de §A(s)B(s)ds iv) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales X`= AX con la condición inicial X(0) = (4, 6, - 7) donde A es la matríz de 3x3 definida del modo siguiente : El primer renglón de A es (1, -12, -14), el segundo es (1, 2, -3) y el tercero es (1, 1, -2). Ojo : X(0) es un vector columna. v) Use el método de los coeficientes indeterminados para resolver el sistema X`= AX + be^(4t) donde A es la matríz de 3x3 definida del modo siguiente : El primer renglón de A es (1, 1, 1), el segundo es (0, 2, 3) y el tercero es (0, 0, 5). b es el vector columna tridimensional siguiente: (1, -1, 2) vi) Use variación de parámetros para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales X`= AX + b(t) donde A es la matríz de 3x3 definida del modo siguiente : El primer renglón de A es (1, 1, 0), el segundo es (1, 1, 0) y el tercero es (0, 0, 3). b(t) es el vector columna siguiente: b(t) = (e^t , e^(2t) , te^(3t) ). vii) Use matrices exponenciales (ejm: e^(tA) ) para encontrar la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales siguiente : X`= AX + b(t) donde A es la matríz de 2x2 definida del modo siguiente : El primer renglón de A es (1, 0) y el segundo es (0, 2). b(t) es el vector columna siguiente : b(t) = (t, e^(4t) ). (Hínt : Ecuaciones diferenciales ) RETO 12 (viernes 31-octubre-2008). i) Sea el vector aleatorio (X1, X2) cuya función de densidad es f(x, y). Encontrar la función de densidad del vector aleatorio (Y1, Y2), donde : Y! = X1 + X2 y Y2 = X1 - X2. ii) Calcule la función característica de una variable aleatoria X que tiene como ley de probabilidades a) La distribución binomial con media 3 y desviación estándar 3/2. b) La distribución de Poisson con media 3. c) La distribución geométrica con parámetro p= 1/4. d) La distribución normal con media 3 y desviación estándar 3/2. e) La distribución gamma con parámetros r= 2 y Lambda= 3. (Hínt : Probabilidad) RETO 13 (viernes 7 de noviembre de 2008). Sea Õ un automorfismo en el grupo finito G definido por Õ(g)= g^(-1) y suponga que Õ(g) = g solamente cuando g = e (la identidad de G). Demostrar que G es abeliano. (Hínt : álgebra moderna (teoría de grupos)) RETO 14 (viernes 14 de noviembre de 2008). Dados los contornos C y las funciones f de los siguientes 2 ejercicios, usar representaciones paramétricas para C (o para los fragmentos de C) con el fin de calcular §Cf(z)dz (Uso §C para denotar al simbolo de integral con sub-índice C). i) C es el arco desde z= -1-i hasta z= 1 + i a lo largo de la curva y= x^3, y f(z) = 1 si y<0 , pero 4y si y>0. ii) f(z)= 1 y C es un contorno arbitrario desde el punto fijo z1 hasta el punto fijo z2 en el plano, ambos arbitarrios. (Hínt : variable compleja ) RETO 15 (viernes 21-noviembre-08). Encontrar manualmente la ecuación de regresión lineal en el siguiente problema. Un investigador reunió los datos siguientes en 15 niños : Calif de inteligencia (Y) : 110, 115, 120, 118, 110, 108, 105, 104, 98, 99, 98, 100, 90, 93, 90. Orden de nacimiento (X1) : 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6. Edad de la madre al nacimiento del niño (X2) : 25, 24, 22, 24, 20, 20, 20, 24, 25, 30, 24, 29, 30, 30, 28. (Hínt : Análisis de regresión (múltiple)) RETO 16 (viernes 28 - noviembre - 08). i) Si el costo marginal está dado por dc/dq = q² + 7q + 6 y los costos fijos son de 2500, evalúe el costo promedio de fabricar 6 unidades. ii) Si los ingresos marginales están dados por dr/dq = 100 - (3/2)(2q)^(1/2), obtenga la ecuación de la demanda correspondiente. ¿Cuántas unidades se demandarían si el precio es de $ 4.50? iii) Suponga que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de R1(x)= 100 + x² dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de R2(x)= 220 + 2x dólares por año. a) ¿Durante cuántos años el segundo plan será el más rentable? b) ¿Cuánto exceso de utilidad generará si se invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el período del inciso (a)? iv) Suponga que cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón de R(x)= 6025 - 8x² dólares por año y origina costos que se acumulan a la razón C(x)= 4681 + 13x² dólares por año. a) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante su período de rentabilidad? v) En una tienda de repuestos para automóvil, la proporción de órdenes cumplidas por día tiene una función de densidad de probabilidad dada por f(x)= 20(x^3 - x^4). a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 20 % de las órdenes se cumplan en un día? b) ¿Qué probabilidad hay de que entre 90 % y 100 % de las órdenes sean cumplidas en un día? vi) SEa la función de demanda Pd = 50 / (q + 5), y la función de oferta Ps= q/10 + 4.5. Calcule el excedente del productor y del consumidor. (Hínt : Economía matemática) Espero que quienes no son mis detractores estén de verdad disfrutando de estos retitos. Paladéenlos. RETO 17 (viernes 5 de diciembre de 2008). Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la máquina es de 2500 minutos por día. En un día cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no más de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extra para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto. a) SUPOniendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son de 6.00 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquier número de horas extra necesarias en el centro. b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la compañía debe utilizar horas extra? (Hínt : Programación lineal) RETO 18 (viernes 12 de diciembre de 2008). El dueño de una compañía naviera ha recopilado las siguientes cifras trimestrales relativas a la inversión de la compañía en cuentas por cobrar durante los últimos 5 años (x $ 1000) : PRIMAVERA VERANO OTOÑO INVIERNO 1982 102 120 90 78 1983 110 126 95 83 1984 111 128 97 86 1985 115 135 103 91 1986 122 144 110 98 A) calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres. B) Obtenga el porcentaje del promedio real respecto al promedio móvil para cada período. C) Determine los índices estacionales modificados y los índices estacionales. D) Cuál es tu predicción para otoño de 1987? (Hínt : Estadística (Series de tiempo)) RETO 19 (viernes 19 de diciembre de 2008). Para estudiar la participación de la fuerza de trabajo de familias pobres urbanas (ingresos familiares menores a $ 3943, en 1969) se obtuvieron a partir del censo de población de 1970, las cifras que aparecen a continuación : PARTICIPACION DE LA FUERZA DE TRABAJO, FAMILIAS POBRES URBANAS: AREAS DEL CENSO, CIUDAD DE NUEVA YORK, 1970. ____________________________________________________________ Area no.: 137, 139, 141, 142, 143, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159, 161, 163. ____________________________________________________________ % en la fuza de trab Y+ : 64.3, 45.4, 26.6, 87.5, 71.3, 82.4, 26.3, 61.6, 52.9, 64.7, 64.9, 70.5, 87.2, 81.2, 67.9. ____________________________________________________________ Ingreso medio familiar, X2 : 1998, 1114, 1942, 1998, 2026, 1853, 1666, 1434, 1513, 2008, 1704, 1525, 1842, 1735, 1639. ____________________________________________________________ tamaño medio de la familia, X3 : 2.95, 3.40, 3.72, 4.43, 3.82, 3.90, 3.32, 3.80, 3.49, 3.85, 4.69, 3.89, 3.53, 4.96, 3.68. ____________________________________________________________ tasa de desempleo, X4 : 4.4, 3.4, 1.1, 3.1, 7.7, 5.0, 6.2, 5.4, 12.2, 4.8, 2.9, 4.8, 3.9, 7.2, 3.6. ____________________________________________________________ Fuente: Census tracts: New York, Bureau of the census, U.S. Department of commerce, 1970. ____________________________________________________________ Utilizando el modelo de regresión lineal obtenga una estimación de los coeficientes de regresión e interprete los resultados. (Hínt : Econometría) RETO 20 (viernes 26 - Diciembre - 08). El bando A desea destruír un objetivo defendido por el bando B. A tiene 2 aviones y B tiene 3 cañones antiaéreos. Cada avión lleva explosivo suficiente para destruír él solo el objetivo. Para llegar al objetivo únicamente existen 3 posibles vías de acceso. B puede colocar cualquiera de sus cañones antiaéreos en cualquiera de las vías de aproximación pero un cañón solo puede cubrir la vía de acceso en la cual quedó ubicado. Cada cañón solo puede atacar a uno de los aviones pero si ataca a un avión , tiene la certeza de derribarlo (lo derriba). El bando A no sabe cómo están dispuestos los cañones y el bando B no sabe qué vías de acceso tomarán los aviones. El propósito de A es destruír el objetivo y el propósito de B es evitarlo. Encontrar la solución del juego; es decir, encontar las estrategias óptimas para cada bando y encontar el valor del juego. (Hínt : Teoría de juegos) Quiero informar al cibernauta que participo en un grupo de política llamado "POLITICA Y COSAS PEORES" en donde me hago llamar mixe60. Te invito a leer mi participación titulada TODOS LOS PAISES DEL MUNDO DEBEN SABER ESTO. El grupo está en : http://groups.msn.com/Politicaycosaspeores Al entrar, dale clic donde dice GENERAL, del lado izquierdo de tu pantalla. Cuando te aparece una nueva pantalla, en la columna de asunto busca TODOS LOS PAISES DEL MUNDO DEBEN SABER ESTO, en la columna de iniciada por debe decir mixe60. A ésta fecha (viernes 24 de octubre-08) hice mi último escrito; así que en la columna encabezada con última respuesta, dice 24/10/2008. Cuando lo encuentres, dale clic o doble clic en TODOS LOS PAISES DEL MUNDO DEBEN SABER ESTO y entrarás a leerme; para que puedas ver todas las respuestas, desde la primera (es decir, desde el mensaje 2), dale clic donde dice primer, a la izquierda de tu pantalla. comunico a los cibernautas que quien quiera las soluciones que yo doy a los 20 retos anteriores, me contacte a los teléfonos que puse en el menú o bien a travéz de la opción `contáctanos` de dicho menú. EL GRUPO "POLITICA Y COSAS PEORES DESAPARECIó" LOS INTERESADOS EN CONOCER MI PARTICIPACON AHí, ACCEDA A LA OPCIóN "CONTáCTANOS" | 
