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Modelos de Pronóstico

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Dentro del fascinante tema de los modelos de pronóstico

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Lista de Temas de Modelos de Pronóstico

1.- Conceptos Básicos De Pronósticos

    1.1 Definición de Pronóstico
    1.2 Objetivo de Pronóstico
    1.3 Modelo Matemático de Pronóstico
    1.4 Técnica o Método de Pronóstico
    1.5 Técnicas Subjetivas para la Obtención de Pronósticos
    1.6  Técnicas Objetivas para la Obtención de Pronósticos

         1.6.1 Técnicas Estadísticas
         1.6.2 Técnicas Determinísticas o Causales

     1.7 Serie de Tiempo
     1.8 Serie de Tiempo Estadística

2.- Componentes de Series de Tiempo

    2.1 Estacionariedad
    2.2 Tendencia
    2.3 Estacionalidad
    2.4 Ciclisidad
    2.5 Aleatoriedad

3.- Medidas de Precisión de Pronóstico

    3.1 Error
    3.2 Error Medio
    3.3 Error Medio Absoluto
    3.4 Suma de Cuadrados del Error
    3.5 Error Cuadrático Medio
    3.6 Desviación Estandar del Error
    3.7 Error Porcentual
    3.8 Error Porcentual Medio
    3.9 Error Porcentual Medio Absoluto
    3.10 Error Porcentual Medio Cuadrático
    3.11  U de Theil

          3.11.1 Cambio Relativo Pronosticado
          3.11.2 Cambio Relativo Real

    3.12 Porcentaje de Bateo de McLaughlin

4.- Métodos de Suavización de Series de Tiempo

    4.1 Promedios Móviles

        4.1.1 Promedio Móvil Simple

               4.1.1.1 Promedio Simple
               4.1.1.2 Promedio Móvil Simple

        4.1.2 Promedio Móvil Doble

    4.2 Suavización Exponencial

        4.2.1 Suavización Exponencial Simple
        4.2.2 Suavización Exponencial Simple De Respuesta Adaptativa
        4.2.3 Suavización Exponencial Doble Método de Brown
        4.2.4 Suavización Exponencial Ajustada a la Tendencia Método de Holt
        4.2.5 Suavización Exponencial Cuadrática Método De Brown
        4.2.6 Suavización Exponencial Triple Método De Winter


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Los pronósticos son una de las herramientas fundamentales para la toma de desiciones dentro de las organizaciones tanto productivas como sin fines de lucro. Algunas de las áreas en donde se utilizan pronósticos en la industria son la planeación y control de inventarios, producción, finanzas, ventas, comercialización, entre muchas otras.

Definición de Pronóstico

Del griego prognôstikon . Conjetura acerca de lo que puede suceder.

Objetivo de un Pronóstico

Reducir la incertidumbre acerca de lo que puede acontecer en el futuro proporcionando información cercana a la realidad que permita tomar decisiones sobre los cursos de acción a tomar tanto en el presente como en el futuro.

Modelo Matemático de Pronóstico

Es una expresión matemática que representa en forma simplificada el fenómeno por medio del cual se obtienen los valores idealizados que toma una variable aleatoria en un periodo de tiempo determinado.

Técnica o Método de Pronóstico

Procedimiento por medio del cual se lleva a cabo un pronóstico.

Técnicas Subjetivas para la Obtención de Pronósticos

Las técnicas subjetivas de pronóstico también conocidas como técnicas cualitativas se basan en la expresión de la opinión personal o juicio de uno o más expertos acerca de la situación en estudio, para determinar el pronóstico.

Técnicas Objetivas para la Obtención de Pronósticos

Las técnicas objetivas mejor conocidas como técnicas cuantitativas de pronóstico se basan en el manejo de datos numéricos históricos para obtener un pronóstico preciso y se soportan en la suposoción de que el comportamiento de los datos históricos permanece durante un periodo de extensión significativa en el futuro. Las técnicas cuantitativas con frecuencia se clasifican en técnicas estadísticas y técnicas determinísticas.

Técnicas Estadísticas

Estas técnicas se basan en la existencia de patrones, en el estudio de los mismos, las transformaciones que sufren, y la influencia del ruido o perturbación causado por factores de naturaleza aleatoria.

Dentro de estas técnicas se utilizan dos enfoques.

En el primero se obtiene el pronóstico basado en el razonamiento de que los datos de la serie de tiempo se pueden dividir o descomponer en componentes identificables que pueden presentarse o no en una determinada serie, estos componentes pueden ser la tendencia, la estacionalidad, la ciclisidad y la aleatoriedad de los datos. El pronóstico se realiza combinando la proyección de los componentes que se presentan dentro de la serie de tiempo.

En el segundo el pronostico se obtiene a partir del análisis estadístico de los datos que integran la serie de tiempo.

Técnicas Determinísticas o Causales

Se basan en identificar y determinar cuales son las relaciones existentes entre la variable dependiente de interés a pronosticar y las variables independientes que la determinan al ejercer su influencia sobre ella.

Serie de Tiempo Estadística

Es una secuencia ordenada de valores numéricos que toma una variable aleatoria observados a intervalos iguales a lo largo de un determinado periodo.

Componentes de una Serie de Tiempo

Los datos de una serie de tiempo se pueden descomponer en componentes individuales para facilitar su estudio los cuales se explican a continuación.

Tendencia.

La tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo que representa el crecimiento o disminución en la serie sobre un periodo amplio. Como se puede ver la tendencia es la propensión al aumento o disminución en los valores de los datos de una serie de tiempo, que permanece a lo largo de un lapso muy extendido de tiempo, es decir que no cambiará en el futuro lejano mientras no hayan cambios significativos o radicales en el entorno en el que se encuentra inmersa y que determina el comportamiento de la serie de tiempo en estudio, cambios que podrían ser originados como por ejemplo, por descubrimientos científicos, avances tecnológicos, cambios culturales, geopolíticos, demográficos, religiosos, etc.

Ejemplos:

En la siguiente tabla se muestran los datos de una serie de tiempo con tendencia creciente.

Tabla 1.3

En la siguiente gráfica se puede observar que los valores de los datos de la serie de tiempo tabulados en la Tabla 1.3 muestran un crecimiento notable al transcurrir un periodo de tiempo de consideración.

Gráfica 1.3

A continuación se muestra el caso contrario, los valores de los datos de una serie de tiempo con tendencia decreciente.

Tabla 1.4

En la siguiente gráfica se puede distinguir que los valores de los datos de la serie de tiempo mostrados en la Tabla 1.4 presentan un decrecimiento que se aprecia sin esfuerzo al pasar un periodo de tiempo significante.

Gráfica 1.4

Ahora mostramos el concepto de una serie de tiempo con comportamiento estacional.

Estacionalidad

El componenete estacional es un patrón de cambio que se repite a sí mismo año tras año.

El patrón de cambio por lo general es un aumento o una disminución cuantitativa en los valores observados de una serie de tiempo específica. Cabe mencionar que aunque en la mayor parte de los casos el patrón estacional es un fenómeno que se presenta en lapsos de tiempo de duración aproximada a un año; también puede manifestarse éste fenómeno en periodos de tiempo, ya sean menores o mayores a un año. Como por ejemplo, el caso de la verificación de vehículos que se eleva en las dos primeras semanas de cada periodo de verificación, ocurriendo esto cada dos meses, siendo éste lapso de tiempo menor a un año. O el caso del aumento en las ventas de panfletos publicitarios, sucedido esto cada seis años ocasionado por las elecciones presidenciales, siendo éste un lapso de tiempo mayor a un año.

Ejemplo:

Tabla 1.5

En la siguiente gráfica es notorio un patrón en los valores de los datos de la serie de tiempo vistos en la tabla 1.5 que parece repetirse en lapsos de tiempo aproximados a un año.

Gráfica 1.5

Ahora explicaremos el concepto del comportamiento cíclico que se presenta en las series de tiempo y que es de los más difíciles de pronosticar.

Ciclisidad.

El componenete cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia.
La ciclicidad es un fenómeno que en lo general parece estar relacionado con la variación de la actividad económica ocurrida durante periodos de crisis o prosperidad. La fluctuación también puede presentarse en series de tiempo estacionarias.

Ejemplo: En la tabla que sigue podemos ver los valores de una serie mensual que presenta el fenómeno cíclico.

Tabla 1.6

A continuación se encuentra la gráfica de los valores de la tabla 1.6 que presentan el comportamiento cíclico en su forma más pura.

Gráfica 1.6

Aleatoriedad

El componente aleatorio mide la variabilidad de las series de tiempo después de retirar los otros componenetes.



La aleatoriedad se puede decir que se presenta en todas las series de tiempo y no es otra cosa que el cambio producido en los valores de una serie de tiempo debido a fenómenos que son en extremo difíciles de explicar y que por lo tanto su ocurrencia cae en el ámbito del azar.

Ejemplo:

Tabla 1.7


Gráfica 1.7


Gráfica 1.7b

Medidas de Precisión de Pronóstico

Las medidas de presición del pronóstico se usan para determinar que tan eficaz es un pronóstico a través del cálculo de su presición con respecto a los valores reales, es decir, búscan obtener una medida de que tan lejos se encuantran los valores pronosticados de los obtenidos en la realidad. En las siguientes medidas del error, Xt es el valor de la serie de tiempo en el momento t y Pt es el pronóstico para ese mismo momento.

Error

Error

Error Medio

Error Medio

Error Medio Absoluto

Error Medio Absoluto

Suma de Cuadrados del Error

Suma de Cuadrados del Error

Suma de Cuadrados del Error Media o Error Cuadrático Medio

Suma de Cuadrados del Error Media o Error Cuadrático Medio

Desviación Estandar del Error

Desviación Estandar del Error

Notese que Pt no es la media de las estimaciones o valores pronosticados como se podria pensar. Esto significa que la desviación no se mide respecto de la media, sino que se promedian las desviaciones de las estimaciones respecto a los valores reales.

Error Porcentual

Error Porcentual

Error Porcentual Medio

Error Porcentual Medio

Error Porcentual Medio Absoluto

Error Porcentual Medio Absoluto

Error Porcentual Medio Cuadrático

Error Porcentual Medio Cuadrático

U de Theil

U de Theil

Cambio Relativo Pronosticado

Cambio Relativo Pronosticado

Cambio Relativo Real

Cambio Relativo Real

o en forma abreviada U se expresa de la siguiente manera

U de Theil

Si U > 1 el pronóstico es malo y es mejor utlizar el método de pronóstico del hoy con el ayer Pt+1 = Xt

Si U = 1 el pronóstico es tan bueno o tan malo como utilizar Pt+1 = Xt

Si U < 1 el pronostico es mejor que el obtenido al utilizar el método de pronóstico del hoy con el ayer Pt+1 = Xt

Esto significa que mientras menor sea la U el pronostico será mejor.

Porcentaje de Bateo de McLaughlin

Porcentaje de Bateo de McLaughlin

Mientras más cercana este la M a 600 el pronóstico será mejor.

Métodos de Suavización de Series de Tiempo

Promedio Simple

Este método consiste en atenuar los datos al obtener la media aritmética de cierto número de datos históricos para obtener con este el pronóstico para el siguiente periodo. El número de datos a tomar en cuenta para calcular el prodedio es una decisión de la persona que realiza el pronóstico.

Promedio Simple

Este modelo solo es recomendable para series de tiempo que no presentan patrones de tendencia, estacionalidad, o ciclisidad en los datos.

Promedio Móvil Simple

Esta técnica se utiliza cuando se quiere dar más importancia a conjuntos de datos más recientes para obtener el pronóstico. El pronóstco se obtiene al calcular la media aritmética del conjunto de datos más recientes seleccionado. Cada ves que se tiene una nueva observación se agraga esta al conjunto de datos, y se elimina de éste la observación o dato más antiguo. El número de datos más recientes a considerar en el conjunto de observaciones del cual se calcula la media aritmética es una decisión del analista que realiza el pronóstico; la sensibilidad a los cambios en el comportamiento de la serie se reduce al utilizar un número mayor de observaciones en el conjunto de datos. Este modelo no maneja muy bien los datos con estacionalidad o con tendencia pero si lo hace mejor que la técnica del promedio simple.

La siguiente ecuación establece el modelo del promedio móvile simple.


Promedio Móvil Simple

Aquí se muestra que el valor pronosticado es igual al promedio móvil.

Pronóstico

en donde

PMt es el promedio móvil en el periodo t.

Pt+1 es el valor pronosticado para el siguiente periodo.

Xt es el valor real observado en el periodo t.

n es el número de datos utilizados para el cálculo de la media aritmética.


Tabla 3.1 Valores De Una Serie De Tiempo Mensual.
Tabla 3.1

La gráfica de líneas de los valores de la tabla es la que se muestra en seguida.

Gráfica 3.1 Líneas de Unión Entre Valores De Una Serie De Tiempo Mensual.
Gráfica 3.1

Para este ejemplo utilizaremos un promedio de 12 observaciones anteriores a la que se desea pronosticar, es decir el valor de n es igual a 12. La primera observación a la que es posible calcular el promedio esta determinada por el número de observaciones que se desea tomar en cuenta en el promedio como se muestra en la siguiente expresión:

X t = n nótese que t = n

Tenemos que:

n = 12, t = 12, X t = 12, X12, Pt = PMSt-1, P13 = PMS13-1, P13 = PMS12

PMS12

PMS12 B

PMS12 C

PMS12 D

por lo tanto el pronóstico para la observación correspondiente al momento o periodo de tiempo 13 es P13 = 79.88. Para el cálculo de los promedios móviles simples de las observaciones posteriores utilizaremos la expresión corta vista con anterioridad, esto lo podemos hacer ya que contamos con el primer promedio móvil simple. El cálculo del pronóstico para la observación correspondiente al momento de tiempo 14 queda de la siguiente manera:

PMS13

P14 = 82.54

En la siguiente tabla podemos observar el total de los valores pronosticados obtenidos.

Tabla 3.2 Valores Pronosticados por el Método del Promedios Móvil Simple.
Tabla 3.2

Gráfica 3.2 Gráfica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método del Promedio Móvil Simple.
Gráfica 3.2

En la gráfica anterior podemos apreciar como la curva descrita por lo valores pronosticados esta sujeta a menos cambios bruscos de sus valores puntuales, o como se acostumbra decir es mas suave o se suaviza respecto de la curva original de la serie de tiempo. Y también se puede ver como en apariencia sigue el comportamiento de la curva original, para conocer mejor la precisión del pronóstico serie conveniente utilizar alguna de las medidas del error comúnmente usadas y observar la variabilidad de este.

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al calcular las medidas de precisión para el ejemplo anterior.

Tabla 3.3 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de los Promedios Móviles Simples.

Tabla 3.3

Promedio Móvil Doble

El método consiste en calcular un conjunto de promedios móviles y en seguida se calcula un segundo conjunto como prodio móvil del primero.

Este método se utiliza para realizar pronósticos de series que tienen una tendencia lineal lineal ya que éste método maneja mejor la tendencia lineal que el “Método del Promedio Móvil Simple” el cual presenta un rezago respecto de la serie original en estos casos.

La siguientes expresión es la ecuación con la cual se calcula el primer promedio móvil.

Primer Promedio Móvil

Con la siguiente expresión se calcula el segundo promedio móvil.

Segundo Promedio Móvil

La siguiente expresión se utiliza para calcular la diferencia entre los dos promedios móviles.

a Diferencia entre los Promedios Móviles

La siguiente ecuación es un factor adicional de ajuste.

b Factor Adicional de Ajuste

La siguiente expresión es la que se utiliza para calcular el ponóstico para p periodos hacia el futuro.

Pronóstico

en donde

n es el número de periodos en el promedio móvil.

p es el número de periodos a pronosticar.

Ejemplo: Aplicaremos el Método del Promedio Móvil Doble a los datos de la Tabla 3.1 a los cuales les aplicamos ya el “Método del Promedio Móvil Simple”.

En éste caso también utilizaremos una n igual a 12, tanto para el cálculo del primer promedio móvil simple hecho sobre las observaciones de la serie de tiempo, como para el cálculo de segundo promedio móvil simple realizado sobre los valores de la nueva serie de tiempo obtenida de los promedios móviles simples calculados la primera vez.

Como en el caso del método del promedio móvil simple la primera observación a la que es posible calcular el promedio esta determinada por el número de observaciones que se desea tomar en cuenta en éste mismo y se utiliza la misma expresión de ese caso, que es la que se muestra a continuación:

X t = n nótese que t = n

Por lo que tenemos que:

n = 12, t = 12, X t = n, X t = 12, X12, es la primera observación a la cual se puede calcular el promedio de acuerdo al número de observaciones n elegido a ser tomado en cuenta en el promedio de las observaciones anteriores.

El cálculo del primer promedio móvil hecho sobre las observaciones de la serie de tiempo original para la primera observación factible a realizar, se hace como se muestra abajo:
Ejem1_PMD_Exp_1

Ejem1_PMD_Exp_2

Ejem1_PMD_Exp_2

Ejem1_PMD_Exp_3

El cálculo para las siguientes observaciones de la serie de tiempo original se puede hacer empleando tanto la forma completa anterior, como la corta que se muestra en seguida para el caso de la observación que sigue en el momento de tiempo t = 13, X13 en este ejemplo.

Ejem1_PMD_Exp_4

Una vez teniendo la nueve serie de tiempo formada por los valores de los promedios móviles simples calculados sobre los datos de la serie de tiempo original, se procede a calcular el segundo promedio móvil simple para los datos de esta nueva serie de tiempo de promedios o valores suavizados.

Los valores de esta nueva serie de tiempo son los que se muestran en la siguiente tabla. Nótese que en éste “Método del Promedio Móvil Doble”, estos valores son solo un paso intermedio y no representan los valores pronosticados a diferencia que en el “Método del Promedio Móvil Simple”.

Tabla 3.4 Valores de la Nueva Serie de Tiempo de Promedios Móviles Simples.
Tabla 3.4

El cálculo del segundo promedio móvil simple para la primera observación factible a calcularlo de la nueva serie de tiempo se hace como se muestra en seguida:

Ejem1_PMD_Exp_5

Ejem1_PMD_Exp_6

Ejem1_PMD_Exp_7

Ejem1_PMD_Exp_8

Los cálculos posteriores de la nueva serie de tiempo de promedios se pueden realizar empleando la expresión larga o bien la forma corta que se muestra a continuación, para el caso del promedio que sigue en el momento de tiempo t = 24, PMS'24 en este ejemplo.

Ejem1_PMD_Exp_9

En la tabla que sigue podemos ver los valores tabulados obtenidos al hacer el segundo promedio móvil simple.

Tabla 3.5 Valores del Segundo Promedio Móvil Simple (PMS’t).
Tabla 3.5

Gráfica 3.3 Gráfica de Líneas de la Serie de Tiempo Original y de las Series Nuevas Resultantes al Calcular el PMSt y el PMS’t.

Gráfica 3.3

En esta gráfica observamos que entre la curva descrita por los valores de la serie de tiempo original y la del primer promedio móvil simple (PMSt), existe una diferencia de proporción similar a la que existe entre la curva descrita por los valores del primer promedio móvil simple y la del segundo promedio móvil simple (PMS’t). Es en base a esta observación es que se utiliza la proporción de la diferencia existente entre los dos promedios (PMSt y PMS’t) para estimar los valores reales de la serie de tiempo, ajustando de ésta manera el valor medio o promedio móvil; y así evitar o reducir el rezago que ocurre al aplicar tan solo un promedio móvil simple a series de tiempo que presentan tendencia como ya se había mencionado antes.

Los pronósticos se obtienen como se explica enseguida para el caso del primer pronóstico factible a ser calculado en éste ejemplo:

Primero se calcula el valor de at

Ejem1_PMD_Exp_10

Segundo calculamos el valor de bt

Ejem1_PMD_Exp_11

Y tercero y último calculamos el valor pronosticado como se ve abajo:

p=1 por lo tanto Ejem1_PMD_Exp_12

En la tabla que sigue podemos ver todos los valores pronosticados obtenidos mediante el “Método del Promedio Móvil Doble”.

Tabla 3.6 Valores Pronosticados con el Método del Promedio Móvil Doble.
Tabla 3.6

En la gráfica que sigue podemos observar la serie de tiempo original y la de los valores pronosticados mediante el “Método del Promedio Móvil Doble” para éste ejemplo en particular.

Gráfica 3.4 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método del Promedio Móvil Doble.

Gráfica 3.4

En la siguiente tabla podemos ver los valores obtenidos para éste ejemplo de las medidas de precisión más comunes.

Tabla 3.7 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método del Promedio Móvil Doble.

Tabla 3.7

Suavización Exponencial

Suavización Exponencial Simple

Esta técnica se basa en la atenuación de los valores de la serie de tiempo, obteniendo el promedio de estos de manera exponencial; es decir, los datos se ponderan dando un mayor peso a las observaciones más recientes y uno menor a las más antiguas. Al peso para ponderar la observación más reciente se le da el valor υ, la observación inmediata anterior se pondera con un peso de a (1 - υ), a la siguiente observación inmediata anterior se le da un peso de ponderación de a (1 - υ)2 y así sucesivamente hasta completar el número de valores observados en la serie de tiempo a tomar en cuenta para realizar la atenuación, es decir, para calcular el promedio ponderado. La estimación o pronostico será el valor obtenido del cálculo del promedio. La expresión para realizar el calculo de la atenuación exponencial es la siguiente.

Suavización Exponencial

Otra expresión equivalente a esta es la siguiente

Suavización Exponencial

otra forma de escribir esta expresión es la siguiente

Suavización Exponencial

en donde

Error

es el error ω

Error

El valor de a siempre se encuentra dentro del siguiente rango 0 < a > 1.

Cuando existe una clara y considerable tendencia lineal en los valores observados en una serie de tiempo, los pronósticos obtenidos mediante la suavización exponencial simple quedan rezagados aún al hacer variar el valor de alfa (Alfa), para estos casos se utilizan dos diferentes técnicas conocidas como el método de Brown y el de Holt.

En éste método así como también en todos los demás métodos de suavización exponencial que veremos más adelante se requiere de una inicialización, es decir necesitan asignarle un valor inicial a P1. Ya que si queremos calcular P2 necesitamos conocer el valor de P1. Si aplicamos la formula para encontrar P1 tenemos que:

ses_p1_exp1 como Xo y Po no existen es imposible obtener el valor de P1 . Por lo que es necesario recurrir a enfoques alternativos para estimar P1. El número y naturaleza de valores a inicializar depende del método de suavización que se este utilizando. Si los datos son estacionales los valores iniciales para los factores estacionales se pueden calcular empleando algún método de descomposición, en el caso de que no hubiera datos suficientes para aplicar estos métodos, la inicialización de estos factores estacionales puede hacerse en base a estimaciones subjetivas o usando índices estacionales ya conocidos.

El nivel suavizado o promedio S y la componente T de la tendencia se pueden estimar usando una de las siguientes alternativas:

1. – Mínimos Cuadrados. Utilizando la técnica de los mínimos cuadrados podemos estimar los valores iniciales. Como por ejemplo para obtener P1 para el caso del método de la suavización exponencial simple; se podría usar el promedio de los 20 valores inmediatos pasados. Y para el caso del método de una suavización exponencial lineal se podrían obtener los valores de S y T resolviendo la ecuación para una línea recta obteniendo la ordenada al origen y la pendiente usando éstas como valores paramétricos iniciales es decir como los parámetros iniciales para S y T. Esto mismo se podría hacer en el método de la suavización exponencial amortiguada.

2. – Retropredicción. Esta es la técnica empleada en la metodología de Box – Jenkins, pero también es posible utilizarla en los métodos de suavización exponencial. Esto consiste en invertir la serie de tiempo y comenzar el proceso de estimación a partir del último valor es decir el más reciente y terminarlo con el primer valor, es decir el valor más antiguo. De esta manera se obtendrán pronósticos o estimaciones para métricas para los primeros datos de la serie de tiempo que pueden ser utilizadas como valores iniciales para realizar el pronóstico de la serie de tiempo cuando se calcula éste de la manera normal, es decir empezando por el dato más antiguo al más reciente.

3. - Arbitraria. Cuando no se disponen de datos suficientes para estimar los valores iniciales o cuando el analista no considera de suma importancia disponer de valores iniciales muy apegados a la realidad, se pueden utilizar valores arbitrarios como valores iniciales para un método en particular de acuerdo al criterio del analista que realiza el pronóstico. Como por ejemplo para la suavización exponencial simple se podría utilizar como valor inicial:

P1=X1

como otro ejemplo para la suavización de Holt o para el suavizamiento amortiguado se podrían usar los valores siguientes como valores iniciales:

S1=X1

T1=X2-X1

e=0

Finalizando los ejemplos para la suavización de Winters podríamos asignar como valores iniciales los que se muestran a continuación:

S1=X'1

T1=X'2-X'1 en donde X'1 y X'2 son los valores desestacionalizados de X1 y X2 .

A continuación ilustraremos la aplicación del método de la suavización exponencial simple mediante el ejemplo siguiente.

Ejemplo: Para éste usaremos los datos de la Tabla 1.2 vista con anterioridad la cual muestra los valores observados de una serie de tiempo mensual estacionaria.

Como valor de inicialización de P1 usaremos el primer valor observado en la serie de tiempo, es decir X1, que en este caso es 48. A alfa le asignaremos un valor de 0.5. Entonces el cálculo para el primer valor a pronosticar es:

Ejem1_SES_Exp_1

Ejem1_SES_Exp_2 para Ejem1_SES_Exp_3 queda como sigue abajo:

Ejem1_SES_Exp_4

Ejem1_SES_Exp_5 y de ésta misma manera se hace para calcular el resto de los pronósticos para los periodos de tiempo subsecuentes. En la siguiente tabla se muestran todos los valores pronosticados para el ejemplo que nos ocupa correspondientes a los valores observados de la serie de tiempo original, pero se podría seguir calculando sucesivamente pronósticos para periodos posteriores hasta donde deseáramos.

Tabla 3.8 Valores Pronosticados con el Método de la Suavización Exponencial Simple.
Tabla 3.8

En la gráfica posterior podemos ver cómo la curva descrita por los valores pronosticados sigue muy de cerca de la curva descrita por la serie de tiempo original a la cual que intenta pronosticar.

Gráfica 3.5 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Gráfica 3.5

A continuación vemos en la tabla de abajo los valores obtenidos para éste ejemplo de las medidas de precisión de uso más frecuente.

Tabla 3.9 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Tabla 3.9

Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa SESRA

Este método tiene como fin adaptar el valor de Alfa a medida que va cambiando el patrón de los datos de la serie de tiempo.

SESRA_EXP_1 donde,

SESRA_EXP_2

SESRA_EXP_3 Error Suavizado

SESRA_EXP_4 Error Absoluto Suavizado

SESRA_EXP_5 Error de Pronóstico en el momento t

SESRA_EXP_6
Esta técnica de pronóstico requiere una inicialización de los valores de Alfa, Beta, ES1, EAS1 y P1

Se pueden utilizar las inicializaciones:

SESRA_EXP_7           SESRA_EXP_8           SESRA_EXP_9

SESRA_EXP_10

Se debe inicializar de la siguiente manera para evitar indeterminaciones al calcularla.

SESRA_EXP_10 aunque el valor de n es arbitraria algunos autores recomiendan que n sea igual a 4.

Es importante señalar que los valores sucesivos de varían significativamente si se al utilizar diferentes inicializaciones.

Tabla 3.10 Valores Pronosticados con el Método de la Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa.
Tabla 3.10

Gráfica 3.6 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método de la Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa.

Gráfica 3.6

Tabla 3.11 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Tabla 3.11

Suavización Exponencial Doble Método de Brown
Ajuste a la Tendencia

Este método consiste en realizar dos suavizaciones exponenciales, a partir de las cuales se obtendrá el valor estimado, o pronóstico que buscamos realizar, mediante un cálculo realizado con una expresión sencilla. La primera se aplica a los valores observados en la serie de tiempo y la segunda a la serie atenuada obtenida mediante la primera atenuación.

Debido a que los valores calculados al realizar las dos primeras atenuaciones no son los datos estimados a obtener, es decir, que constituirán las inferencias de los valores que se espera que tome la serie de tiempo en el futuro cercano, usaremos una notación distinta a la de la expresión final con la cual se calculan los valores que constituyen en realidad el pronóstico.

Las expresiones son las siguientes:

Primera Suavización

Segunda Suavización

a

b

Pronostico

donde m representa el número de periodos hacia el futuro del que se pretende hacer el pronostico.

Tabla 3.12 Valores Pronosticados con la Suavización Exponencial Doble Método de Brown.
Tabla 3.12

Gráfica 3.7 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con la Suavización Exponencial Doble por el Método de Brown.

Gráfica 3.7

Tabla 3.13 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Doble con el Método de Brown.

Tabla 3.13

Al utilizar este método se obtienen valores estimados de la tendencia que son muy sensibles a las variaciones aleatorias, debido a que se utiliza una sola constante de atenuación. Esta situación que no es deseable que se presente es la que Holt intenta resolver al proponer el siguiente modelo.

Suavización Exponencial Ajustada a la Tendencia por el Método de Holt

Esta técnica también conocida como el método de los dos parámetros de Holt atenúa en forma directa la tendencia y la pendiente al utilizar una constante de atenuación diferente para cada una de ellas.

Primera Suavización

Con esta ecuación se atenúa la serie en forma exponencial de manera similar a como se hacia en el caso de la suavización exponencial simple, la diferencia radica en que se agrega un término para tomar en cuenta la tendencia.

La ecuación con la cual se estima la tendencia es la que sigue.

Estimación de la Tendencia

La estimación de la tendencia es calculada al obtener la diferencia entre los valores sucesivos de la atenuación exponencial Diferencia , ya que estos se atenuaron con fines de aleatoriedad, su diferencia constituye una estimación de la tendencia de los datos.

Y al final se obtiene el pronóstico para m periodos hacia el futuro por medio de la posterior expresión matemática.

Pronostico

en donde para las anteriores expresiones:

Valor Atenuado Es el valor atenuado.

Constante de Atenuación de los Valores de la Serie Es la constante de atenuación de los datos de la serie de tiempo.

Valor Real de la Serie en el tiempo t Es el valor real de la serie de tiempo en el periodo t.

Constante de Atenuación para Estimar la Tendencia Es la constante de atenuación utilizada para estimar la tendencia.

Tendencia Estimada Estimación de la tendencia.

Número de Periodos a Pronosticar Hacia el Futuro Es el número de periodos a pronosticar en el futuro.

”Pronostico" Es el pronóstico de m periodos hacia el futuro.

Suavización Exponencial Cuadrática Método de Brown

Este método se utiliza cuando se presenta una tendencia no lineal en la serie de tiempo, ya que las técnicas estudiadas con anterioridad arrojan resultados con un elevado error al intentar pronosticar este tipo de comportamiento en los datos.

Esta técnica consigue buenos resultados al pronosticar este tipo de series al realizar tres suavizaciones como se muestra a continuación en las expresiones matemáticas para realizar el cálculo de pronóstico.

Primera suavización

Primera Atenuación

Segunda suavización

Segunda Atenuación

Tercera suavización

Tercera Atenuación

Intercepto

Intercepto

Pendiente de la serie de tiempo

Pendiente de la Serie

Parámetro de no linearidad de segundo órden

Parámetro de No Linearidad

Pronóstico para el periodo Periodo

Pronostico

Como inicialización podemos usar:

Inicialización

Suavización Exponencial Triple Método de Winter

Ajuste a la Tendencia y a la Variación Estacional

Este método se utiliza cuando además de presentarse una tendencia lineal en la serie de tiempo, hay también un patrón de comportamiento de tipo estacional o periódico en los datos o valores de la serie de tiempo. Esta técnica es una extensión del método de Holt ya que incorpora una ecuación para calcular una estimación de la estacionalidad.

La estimación de la estacionalidad está dada por un índice estacional  Índice Estacional que se multiplica por la constante de atenuación  Constante de Atenuación de la Estimación de la estacionalidad , sumándose después a la estimación anterior Estimación Anterior. que se multiplica por 1 - y. Las siguientes expresiones matemáticas son las utilizadas para hacer los cálculos en esta técnica de pronóstico.

Atenuación de la serie de tiempo.

Atenuación de la Serie de Tiempo.

Estimación de la tendencia.

Estimación de la Tendencia.

Estimación de la estacionalidad.

Estimación de la Estacionalidad.

Pronóstico para p periodos en el futuro.

Pronostico.

En donde:


Valor Atenuado de la Serie. Es el nuevo valor atenuado suavizado.

Constante de Atenuación. Es la constante de atenuación que toma valores en el intervalo Intervalo de Valores de Alpha.

Valor Real Observado de la Serie en el Momento t. Es la nueva observación o valor real de la serie en el momento t.

Constante de Atenuación de la Estimación de la Tendencia. Es la constante de atenuación de la estimación de la tendencia y toma valores en el intervalo Intervalo de Valores de Beta” BORDER=0>.

<BR><BR>

<IMG SRC=. Es la estimación de la tendencia.

Constante de Atenuación de la Estimación de la Estacionalidad. Es la constante de atenuación de la estimación de la estacionalidad y toma valores en el intervalo Intervalo de Valores de Gama” BORDER=0>.

<BR><BR>

<IMG SRC=. Es la estimación de la estacionalidad.

Número de Periodos a Pronosticar Hacia el Futuro. Es el número de periodos a pronosticar en el futuro.

Longitud de la Estacionalidad. Es la longitud de la estacionalidad.

Pronóstico. Es el pronóstico para p periodos en el futuro.


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Métodos de Pronóstico

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Gracias a ella seguimos siendo el sitio # 1 en el fascinante tema de los métodos de pronóstico.

Lista de Temas de Métodos de Pronóstico

1.- Conceptos Básicos De Pronósticos

    1.1 Definición de Pronóstico
    1.2 Objetivo de Pronóstico
    1.3 Modelo Matemático de Pronóstico
    1.4 Técnica o Método de Pronóstico
    1.5 Métodos Subjetivos para la Obtención de Pronósticos
    1.6 Métodos Objetivos para la Obtención de Pronósticos

         1.6.1 Métodos Estadísticos
         1.6.2 Métodos Determinísticos o Causales

     1.7 Serie de Tiempo
     1.8 Serie de Tiempo Estadística

2.- Componentes de Series de Tiempo

    2.1 Estacionariedad
    2.2 Tendencia
    2.3 Estacionalidad
    2.4 Ciclisidad
    2.5 Aleatoriedad

3.- Medidas de Precisión de Pronóstico

    3.1 Error
    3.2 Error Medio
    3.3 Error Medio Absoluto
    3.4 Suma de Cuadrados del Error
    3.5 Error Cuadrático Medio
    3.6 Desviación Estandar del Error
    3.7 Error Porcentual
    3.8 Error Porcentual Medio
    3.9 Error Porcentual Medio Absoluto
    3.10 Error Porcentual Medio Cuadrático
    3.11  U de Theil

          3.11.1 Cambio Relativo Pronosticado
          3.11.2 Cambio Relativo Real

    3.12 Porcentaje de Bateo de McLaughlin

4.- Métodos de Suavización de Series de Tiempo

    4.1 Métodos de Promedios Móviles

        4.1.1 Método de Promedio Móvil Simple

               4.1.1.1 Promedio Simple
               4.1.1.2 Método de Promedio Móvil Simple

        4.1.2 Método de Promedio Móvil Doble

    4.2 Método de Suavización Exponencial

        4.2.1 Método de Suavización Exponencial Simple
        4.2.2 Método de Suavización Exponencial Simple De Respuesta Adaptativa
        4.2.3 Método de Suavización Exponencial Doble. Método de Brown
        4.2.4 Método de Suavización Exponencial Ajustada a la Tendencia. Método de Holt
        4.2.5 Método de Suavización Exponencial Cuadrática. Método De Brown
        4.2.6 Método de Suavización Exponencial Triple. Método De Winter


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Los pronósticos son una de las herramientas fundamentales para la toma de decisiones dentro de las organizaciones tanto productivas como sin fines de lucro. Algunas de las áreas en donde se utilizan pronósticos en la industria son la planeación y control de inventarios, producción, finanzas, ventas, comercialización, entre muchas otras.

Definición de Pronóstico

Del griego prognôstikon . Conjetura acerca de lo que puede suceder.

Objetivo de un Pronóstico

Reducir la incertidumbre acerca de lo que puede acontecer en el futuro proporcionando información cercana a la realidad que permita tomar decisiones sobre los cursos de acción a tomar tanto en el presente como en el futuro.

Modelo Matemático de Pronóstico

Es una expresión matemática que representa en forma simplificada el fenómeno por medio del cual se obtienen los valores idealizados que toma una variable aleatoria en un periodo de tiempo determinado.

Técnica o Método de Pronóstico

Procedimiento por medio del cual se lleva a cabo un pronóstico.

Métodos Subjetivos para la Obtención de Pronósticos

Los Métodos subjetivos de pronóstico también conocidos como métodos cualitativos se basan en la expresión de la opinión personal o juicio de uno o más expertos acerca de la situación en estudio, para determinar el pronóstico.

Métodos Objetivos para la Obtención de Pronósticos

Los métodos objetivos mejor conocidas como métodos cuantitativos de pronóstico se basan en el manejo de datos numéricos históricos para obtener un pronóstico preciso y se soportan en la suposoción de que el comportamiento de los datos históricos permanece durante un periodo de extensión significativa en el futuro. Las Métodos cuantitativos con frecuencia se clasifican en métodos estadísticas y métodos determinísticos.

Métodos Estadísticos

Estos métodos se basan en la existencia de patrones, en el estudio de los mismos, las transformaciones que sufren, y la influencia del ruido o perturbación causado por factores de naturaleza aleatoria.

Dentro de estos métodos se utilizan dos enfoques.

En el primero se obtiene el pronóstico basado en el razonamiento de que los datos de la serie de tiempo se pueden dividir o descomponer en componentes identificables que pueden presentarse o no en una determinada serie, estos componentes pueden ser la tendencia, la estacionalidad, la ciclisidad y la aleatoriedad de los datos. El pronóstico se realiza combinando la proyección de los componentes que se presentan dentro de la serie de tiempo.

En el segundo el pronóstico se obtiene a partir del análisis estadístico de los datos que integran la serie de tiempo.

Métodos Determinísticos o Causales

Se basan en identificar y determinar cuales son las relaciones existentes entre la variable dependiente de interés a pronosticar y las variables independientes que la determinan al ejercer su influencia sobre ella.

Serie de Tiempo Estadística

Es una secuencia ordenada de valores numéricos que toma una variable aleatoria observados a intervalos iguales a lo largo de un determinado periodo.

Componentes de una Serie de Tiempo

Los datos de una serie de tiempo se pueden descomponer en componentes individuales para facilitar su estudio los cuales se explican a continuación.

Tendencia.

La tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo que representa el crecimiento o disminución en la serie sobre un periodo amplio. Como se puede ver la tendencia es la propensión al aumento o disminución en los valores de los datos de una serie de tiempo, que permanece a lo largo de un lapso muy extendido de tiempo, es decir que no cambiará en el futuro lejano mientras no hayan cambios significativos o radicales en el entorno en el que se encuentra inmersa y que determina el comportamiento de la serie de tiempo en estudio, cambios que podrían ser originados como por ejemplo, por descubrimientos científicos, avances tecnológicos, cambios culturales, geopolíticos, demográficos, religiosos, etc.

Ejemplos:

En la siguiente tabla se muestran los datos de una serie de tiempo con tendencia creciente.

Tabla 1.3

En la siguiente gráfica se puede observar que los valores de los datos de la serie de tiempo tabulados en la Tabla 1.3 muestran un crecimiento notable al transcurrir un periodo de tiempo de consideración.

Gráfica 1.3

A continuación se muestra el caso contrario, los valores de los datos de una serie de tiempo con tendencia decreciente.

Tabla 1.4

En la siguiente gráfica se puede distinguir que los valores de los datos de la serie de tiempo mostrados en la Tabla 1.4 presentan un decrecimiento que se aprecia sin esfuerzo al pasar un periodo de tiempo significante.

Gráfica 1.4

Ahora mostramos el concepto de una serie de tiempo con comportamiento estacional.

Estacionalidad

El componenete estacional es un patrón de cambio que se repite a sí mismo año tras año.

El patrón de cambio por lo general es un aumento o una disminución cuantitativa en los valores observados de una serie de tiempo específica. Cabe mencionar que aunque en la mayor parte de los casos el patrón estacional es un fenómeno que se presenta en lapsos de tiempo de duración aproximada a un año; también puede manifestarse éste fenómeno en periodos de tiempo, ya sean menores o mayores a un año. Como por ejemplo, el caso de la verificación de vehículos que se eleva en las dos primeras semanas de cada periodo de verificación, ocurriendo esto cada dos meses, siendo éste lapso de tiempo menor a un año. O el caso del aumento en las ventas de panfletos publicitarios, sucedido esto cada seis años ocasionado por las elecciones presidenciales, siendo éste un lapso de tiempo mayor a un año.

Ejemplo:

Tabla 1.5

En la siguiente gráfica es notorio un patrón en los valores de los datos de la serie de tiempo vistos en la tabla 1.5 que parece repetirse en lapsos de tiempo aproximados a un año.

Gráfica 1.5

Ahora explicaremos el concepto del comportamiento cíclico que se presenta en las series de tiempo y que es de los más difíciles de pronosticar.

Ciclisidad.

El componenete cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia.
La ciclicidad es un fenómeno que en lo general parece estar relacionado con la variación de la actividad económica ocurrida durante periodos de crisis o prosperidad. La fluctuación también puede presentarse en series de tiempo estacionarias.

Ejemplo: En la tabla que sigue podemos ver los valores de una serie mensual que presenta el fenómeno cíclico.

Tabla 1.6

A continuación se encuentra la gráfica de los valores de la tabla 1.6 que presentan el comportamiento cíclico en su forma más pura.

Gráfica 1.6

Aleatoriedad

El componente aleatorio mide la variabilidad de las series de tiempo después de retirar los otros componenetes.



La aleatoriedad se puede decir que se presenta en todas las series de tiempo y no es otra cosa que el cambio producido en los valores de una serie de tiempo debido a fenómenos que son en extremo difíciles de explicar y que por lo tanto su ocurrencia cae en el ámbito del azar.

Ejemplo:

Tabla 1.7


Gráfica 1.7


Gráfica 1.7b

Medidas de Precisión de Pronóstico

Las medidas de presición del pronóstico se usan para determinar que tan eficaz es un pronóstico a través del cálculo de su presición con respecto a los valores reales, es decir, búscan obtener una medida de que tan lejos se encuantran los valores pronosticados de los obtenidos en la realidad. En las siguientes medidas del error, Xt es el valor de la serie de tiempo en el momento t y Pt es el pronóstico para ese mismo momento.

Error

Error

Error Medio

Error Medio

Error Medio Absoluto

Error Medio Absoluto

Suma de Cuadrados del Error

Suma de Cuadrados del Error

Suma de Cuadrados del Error Media o Error Cuadrático Medio

Suma de Cuadrados del Error Media o Error Cuadrático Medio

Desviación Estandar del Error

Desviación Estandar del Error

Nótese que Pt no es la media de las estimaciones o valores pronosticados como se podria pensar. Esto significa que la desviación no se mide respecto de la media, sino que se promedian las desviaciones de las estimaciones respecto a los valores reales.

Error Porcentual

Error Porcentual

Error Porcentual Medio

Error Porcentual Medio

Error Porcentual Medio Absoluto

Error Porcentual Medio Absoluto

Error Porcentual Medio Cuadrático

Error Porcentual Medio Cuadrático

U de Theil

U de Theil

Cambio Relativo Pronosticado

Cambio Relativo Pronosticado

Cambio Relativo Real

Cambio Relativo Real

o en forma abreviada U se expresa de la siguiente manera

U de Theil

Si U > 1 el pronóstico es malo y es mejor utlizar el método de pronóstico del hoy con el ayer Pt+1 = Xt

Si U = 1 el pronóstico es tan bueno o tan malo como utilizar Pt+1 = Xt

Si U < 1 el pronostico es mejor que el obtenido al utilizar el método de pronóstico del hoy con el ayer Pt+1 = Xt

Esto significa que mientras menor sea la U el pronostico será mejor.

Porcentaje de Bateo de McLaughlin

Porcentaje de Bateo de McLaughlin

Mientras más cercana este la M a 600 el pronóstico será mejor.

Métodos de Suavización de Series de Tiempo

Método de Promedio Simple

Este método consiste en atenuar los datos al obtener la media aritmética de cierto número de datos históricos para obtener con este el pronóstico para el siguiente periodo. El número de datos a tomar en cuenta para calcular el promedio es una decisión de la persona que realiza el pronóstico.

 Método de Promedio Simple

Este método solo es recomendable para series de tiempo que no presentan patrones de tendencia, estacionalidad, o ciclisidad en los datos.

Método de Promedio Móvil Simple

Esta técnica se utiliza cuando se quiere dar más importancia a conjuntos de datos más recientes para obtener el pronóstico. El pronóstco se obtiene al calcular la media aritmética del conjunto de datos más recientes seleccionado. Cada ves que se tiene una nueva observación se agraga esta al conjunto de datos, y se elimina de éste la observación o dato más antiguo. El número de datos más recientes a considerar en el conjunto de observaciones del cual se calcula la media aritmética es una decisión del analista que realiza el pronóstico; la sensibilidad a los cambios en el comportamiento de la serie se reduce al utilizar un número mayor de observaciones en el conjunto de datos. Este método no maneja muy bien los datos con estacionalidad o con tendencia pero si lo hace mejor que la técnica del promedio simple.

La siguiente ecuación establece el modelo del promedio móvile simple.


Método de Promedio Móvil Simple

Aquí se muestra que el valor pronosticado es igual al promedio móvil.

Pronóstico

en donde

PMt es el promedio móvil en el periodo t.

Pt+1 es el valor pronosticado para el siguiente periodo.

Xt es el valor real observado en el periodo t.

n es el número de datos utilizados para el cálculo de la media aritmética.


Tabla 3.1 Valores De Una Serie De Tiempo Mensual.
Tabla 3.1

La gráfica de líneas de los valores de la tabla es la que se muestra en seguida.

Gráfica 3.1 Líneas de Unión Entre Valores De Una Serie De Tiempo Mensual.
Gráfica 3.1

Para este ejemplo utilizaremos un promedio de 12 observaciones anteriores a la que se desea pronosticar, es decir el valor de n es igual a 12. La primera observación a la que es posible calcular el promedio esta determinada por el número de observaciones que se desea tomar en cuenta en el promedio como se muestra en la siguiente expresión:

X t = n nótese que t = n

Tenemos que:

n = 12, t = 12, X t = 12, X12, Pt = PMSt-1, P13 = PMS13-1, P13 = PMS12

PMS12

PMS12 B

PMS12 C

PMS12 D

por lo tanto el pronóstico para la observación correspondiente al momento o periodo de tiempo 13 es P13 = 79.88. Para el cálculo de los promedios móviles simples de las observaciones posteriores utilizaremos la expresión corta vista con anterioridad, esto lo podemos hacer ya que contamos con el primer promedio móvil simple. El cálculo del pronóstico para la observación correspondiente al momento de tiempo 14 queda de la siguiente manera:

PMS13

P14 = 82.54

En la siguiente tabla podemos observar el total de los valores pronosticados obtenidos.

Tabla 3.2 Valores Pronosticados por el Método del Promedio Móvil Simple.
Tabla 3.2

Gráfica 3.2 Gráfica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método del Promedio Móvil Simple.
Gráfica 3.2

En la gráfica anterior podemos apreciar como la curva descrita por lo valores pronosticados esta sujeta a menos cambios bruscos de sus valores puntuales, o como se acostumbra decir es mas suave o se suaviza respecto de la curva original de la serie de tiempo. Y también se puede ver como en apariencia sigue el comportamiento de la curva original, para conocer mejor la precisión del pronóstico serie conveniente utilizar alguna de las medidas del error comúnmente usadas y observar la variabilidad de este.

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al calcular las medidas de precisión para el ejemplo anterior.

Tabla 3.3 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de los Promedios Móviles Simples.

Tabla 3.3

Método de Promedio Móvil Doble

El método consiste en calcular un conjunto de promedios móviles y en seguida se calcula un segundo conjunto como prodio móvil del primero.

Este método se utiliza para realizar pronósticos de series que tienen una tendencia lineal lineal ya que éste método maneja mejor la tendencia lineal que el “Método del Promedio Móvil Simple” el cual presenta un rezago respecto de la serie original en estos casos.

La siguientes expresión es la ecuación con la cual se calcula el primer promedio móvil.

Primer Promedio Móvil

Con la siguiente expresión se calcula el segundo promedio móvil.

Segundo Promedio Móvil

La siguiente expresión se utiliza para calcular la diferencia entre los dos promedios móviles.

a Diferencia entre los Promedios Móviles

La siguiente ecuación es un factor adicional de ajuste.

b Factor Adicional de Ajuste

La siguiente expresión es la que se utiliza para calcular el ponóstico para p periodos hacia el futuro.

Pronóstico

en donde

n es el número de periodos en el promedio móvil.

p es el número de periodos a pronosticar.

Ejemplo: Aplicaremos el Método del Promedio Móvil Doble a los datos de la Tabla 3.1 a los cuales les aplicamos ya el “Método del Promedio Móvil Simple”.

En éste caso también utilizaremos una n igual a 12, tanto para el cálculo del primer promedio móvil simple hecho sobre las observaciones de la serie de tiempo, como para el cálculo de segundo promedio móvil simple realizado sobre los valores de la nueva serie de tiempo obtenida de los promedios móviles simples calculados la primera vez.

Como en el caso del método del promedio móvil simple la primera observación a la que es posible calcular el promedio esta determinada por el número de observaciones que se desea tomar en cuenta en éste mismo y se utiliza la misma expresión de ese caso, que es la que se muestra a continuación:

X t = n nótese que t = n

Por lo que tenemos que:

n = 12, t = 12, X t = n, X t = 12, X12, es la primera observación a la cual se puede calcular el promedio de acuerdo al número de observaciones n elegido a ser tomado en cuenta en el promedio de las observaciones anteriores.

El cálculo del primer promedio móvil hecho sobre las observaciones de la serie de tiempo original para la primera observación factible a realizar, se hace como se muestra abajo:
Ejem1_PMD_Exp_1

Ejem1_PMD_Exp_2

Ejem1_PMD_Exp_2

Ejem1_PMD_Exp_3

El cálculo para las siguientes observaciones de la serie de tiempo original se puede hacer empleando tanto la forma completa anterior, como la corta que se muestra en seguida para el caso de la observación que sigue en el momento de tiempo t = 13, X13 en este ejemplo.

Ejem1_PMD_Exp_4

Una vez teniendo la nueve serie de tiempo formada por los valores de los promedios móviles simples calculados sobre los datos de la serie de tiempo original, se procede a calcular el segundo promedio móvil simple para los datos de esta nueva serie de tiempo de promedios o valores suavizados.

Los valores de esta nueva serie de tiempo son los que se muestran en la siguiente tabla. Nótese que en éste “Método del Promedio Móvil Doble”, estos valores son solo un paso intermedio y no representan los valores pronosticados a diferencia que en el “Método del Promedio Móvil Simple”.

Tabla 3.4 Valores de la Nueva Serie de Tiempo de Promedios Móviles Simples.
Tabla 3.4

El cálculo del segundo promedio móvil simple para la primera observación factible a calcularlo de la nueva serie de tiempo se hace como se muestra en seguida:

Ejem1_PMD_Exp_5

Ejem1_PMD_Exp_6

Ejem1_PMD_Exp_7

Ejem1_PMD_Exp_8

Los cálculos posteriores de la nueva serie de tiempo de promedios se pueden realizar empleando la expresión larga o bien la forma corta que se muestra a continuación, para el caso del promedio que sigue en el momento de tiempo t = 24, PMS'24 en este ejemplo.

Ejem1_PMD_Exp_9

En la tabla que sigue podemos ver los valores tabulados obtenidos al hacer el segundo promedio móvil simple.

Tabla 3.5 Valores del Segundo Promedio Móvil Simple (PMS’t).
Tabla 3.5

Gráfica 3.3 Gráfica de Líneas de la Serie de Tiempo Original y de las Series Nuevas Resultantes al Calcular el PMSt y el PMS’t.

Gráfica 3.3

En esta gráfica observamos que entre la curva descrita por los valores de la serie de tiempo original y la del primer promedio móvil simple (PMSt), existe una diferencia de proporción similar a la que existe entre la curva descrita por los valores del primer promedio móvil simple y la del segundo promedio móvil simple (PMS’t). Es en base a esta observación es que se utiliza la proporción de la diferencia existente entre los dos promedios (PMSt y PMS’t) para estimar los valores reales de la serie de tiempo, ajustando de ésta manera el valor medio o promedio móvil; y así evitar o reducir el rezago que ocurre al aplicar tan solo un promedio móvil simple a series de tiempo que presentan tendencia como ya se había mencionado antes.

Los pronósticos se obtienen como se explica enseguida para el caso del primer pronóstico factible a ser calculado en éste ejemplo:

Primero se calcula el valor de at

Ejem1_PMD_Exp_10

Segundo calculamos el valor de bt

Ejem1_PMD_Exp_11

Y tercero y último calculamos el valor pronosticado como se ve abajo:

p=1 por lo tanto Ejem1_PMD_Exp_12

En la tabla que sigue podemos ver todos los valores pronosticados obtenidos mediante el “Método del Promedio Móvil Doble”.

Tabla 3.6 Valores Pronosticados con el Método del Promedio Móvil Doble.
Tabla 3.6

En la gráfica que sigue podemos observar la serie de tiempo original y la de los valores pronosticados mediante el “Método del Promedio Móvil Doble” para éste ejemplo en particular.

Gráfica 3.4 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método del Promedio Móvil Doble.

Gráfica 3.4

En la siguiente tabla podemos ver los valores obtenidos para éste ejemplo de las medidas de precisión más comunes.

Tabla 3.7 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método del Promedio Móvil Doble.

Tabla 3.7

Métodos de Suavización Exponencial

Método de Suavización Exponencial Simple

Esta técnica se basa en la atenuación de los valores de la serie de tiempo, obteniendo el promedio de estos de manera exponencial; es decir, los datos se ponderan dando un mayor peso a las observaciones más recientes y uno menor a las más antiguas. Al peso para ponderar la observación más reciente se le da el valor υ, la observación inmediata anterior se pondera con un peso de a (1 - υ), a la siguiente observación inmediata anterior se le da un peso de ponderación de a (1 - υ)2 y así sucesivamente hasta completar el número de valores observados en la serie de tiempo a tomar en cuenta para realizar la atenuación, es decir, para calcular el promedio ponderado. La estimación o pronostico será el valor obtenido del cálculo del promedio. La expresión para realizar el calculo de la atenuación exponencial es la siguiente.

Suavización Exponencial

Otra expresión equivalente a esta es la siguiente

Suavización Exponencial

otra forma de escribir esta expresión es la siguiente

Suavización Exponencial

en donde

Error

es el error ω

Error

El valor de a siempre se encuentra dentro del siguiente rango 0 < a > 1.

Cuando existe una clara y considerable tendencia lineal en los valores observados en una serie de tiempo, los pronósticos obtenidos mediante el método de suavización exponencial simple quedan rezagados aún al hacer variar el valor de alfa (Alfa), para estos casos se utilizan dos diferentes Métodos conocidos como el método de Brown y el de Holt.

En éste método así como también en todos los demás métodos de suavización exponencial que veremos más adelante se requiere de una inicialización, es decir necesitan asignarle un valor inicial a P1. Ya que si queremos calcular P2 necesitamos conocer el valor de P1. Si aplicamos la fórmula para encontrar P1 tenemos que:

ses_p1_exp1 como Xo y Po no existen es imposible obtener el valor de P1 . Por lo que es necesario recurrir a enfoques alternativos para estimar P1. El número y naturaleza de valores a inicializar depende del método de suavización que se este utilizando. Si los datos son estacionales los valores iniciales para los factores estacionales se pueden calcular empleando algún método de descomposición, en el caso de que no hubiera datos suficientes para aplicar estos métodos, la inicialización de estos factores estacionales puede hacerse en base a estimaciones subjetivas o usando índices estacionales ya conocidos.

El nivel suavizado o promedio S y la componente T de la tendencia se pueden estimar usando una de las siguientes alternativas:

1. – Mínimos Cuadrados. Utilizando la técnica de los mínimos cuadrados podemos estimar los valores iniciales. Como por ejemplo para obtener P1 para el caso del método de la suavización exponencial simple; se podría usar el promedio de los 20 valores inmediatos pasados. Y para el caso del método de una suavización exponencial lineal se podrían obtener los valores de S y T resolviendo la ecuación para una línea recta obteniendo la ordenada al origen y la pendiente usando éstas como valores paramétricos iniciales es decir como los parámetros iniciales para S y T. Esto mismo se podría hacer en el método de la suavización exponencial amortiguada.

2. – Retropredicción. Esta es la técnica empleada en la metodología de Box – Jenkins, pero también es posible utilizarla en los métodos de suavización exponencial. Esto consiste en invertir la serie de tiempo y comenzar el proceso de estimación a partir del último valor es decir el más reciente y terminarlo con el primer valor, es decir el valor más antiguo. De esta manera se obtendrán pronósticos o estimaciones para métricas para los primeros datos de la serie de tiempo que pueden ser utilizadas como valores iniciales para realizar el pronóstico de la serie de tiempo cuando se calcula éste de la manera normal, es decir empezando por el dato más antiguo al más reciente.

3. - Arbitraria. Cuando no se disponen de datos suficientes para estimar los valores iniciales o cuando el analista no considera de suma importancia disponer de valores iniciales muy apegados a la realidad, se pueden utilizar valores arbitrarios como valores iniciales para un método en particular de acuerdo al criterio del analista que realiza el pronóstico. Como por ejemplo para la suavización exponencial simple se podría utilizar como valor inicial:

P1=X1

como otro ejemplo para la suavización de Holt o para el suavizamiento amortiguado se podrían usar los valores siguientes como valores iniciales:

S1=X1

T1=X2-X1

e=0

Finalizando los ejemplos para la suavización de Winters podríamos asignar como valores iniciales los que se muestran a continuación:

S1=X'1

T1=X'2-X'1 en donde X'1 y X'2 son los valores desestacionalizados de X1 y X2 .

A continuación ilustraremos la aplicación del método de la suavización exponencial simple mediante el ejemplo siguiente.

Ejemplo: Para éste usaremos los datos de la Tabla 1.2 vista con anterioridad la cual muestra los valores observados de una serie de tiempo mensual estacionaria.

Como valor de inicialización de P1 usaremos el primer valor observado en la serie de tiempo, es decir X1, que en este caso es 48. A alfa le asignaremos un valor de 0.5. Entonces el cálculo para el primer valor a pronosticar es:

Ejem1_SES_Exp_1

Ejem1_SES_Exp_2 para Ejem1_SES_Exp_3 queda como sigue abajo:

Ejem1_SES_Exp_4

Ejem1_SES_Exp_5 y de ésta misma manera se hace para calcular el resto de los pronósticos para los periodos de tiempo subsecuentes. En la siguiente tabla se muestran todos los valores pronosticados para el ejemplo que nos ocupa correspondientes a los valores observados de la serie de tiempo original, pero se podría seguir calculando sucesivamente pronósticos para periodos posteriores hasta donde deseáramos.

Tabla 3.8 Valores Pronosticados con el Método de la Suavización Exponencial Simple.
Tabla 3.8

En la gráfica posterior podemos ver cómo la curva descrita por los valores pronosticados sigue muy de cerca de la curva descrita por la serie de tiempo original a la cual que intenta pronosticar.

Gráfica 3.5 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Gráfica 3.5

A continuación vemos en la tabla de abajo los valores obtenidos para éste ejemplo de las medidas de precisión de uso más frecuente.

Tabla 3.9 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Tabla 3.9

Método de Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa SESRA

Este método tiene como fin adaptar el valor de Alfa a medida que va cambiando el patrón de los datos de la serie de tiempo.

SESRA_EXP_1 donde,

SESRA_EXP_2

SESRA_EXP_3 Error Suavizado

SESRA_EXP_4 Error Absoluto Suavizado

SESRA_EXP_5 Error de Pronóstico en el momento t

SESRA_EXP_6
Esta técnica de pronóstico requiere una inicialización de los valores de Alfa, Beta, ES1, EAS1 y P1

Se pueden utilizar las inicializaciones:

SESRA_EXP_7           SESRA_EXP_8           SESRA_EXP_9

SESRA_EXP_10

Se debe inicializar de la siguiente manera para evitar indeterminaciones al calcularla.

SESRA_EXP_10 aunque el valor de n es arbitraria algunos autores recomiendan que n sea igual a 4.

Es importante señalar que los valores sucesivos de varían significativamente si se al utilizar diferentes inicializaciones.

Tabla 3.10 Valores Pronosticados con el Método de la Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa.
Tabla 3.10

Gráfica 3.6 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método de la Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa.

Gráfica 3.6

Tabla 3.11 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Simple de Respuesta Adaptativa.

Tabla 3.11

Método de Suavización Exponencial Doble. Método de Brown
Ajuste a la Tendencia

Este método consiste en realizar dos suavizaciones exponenciales, a partir de las cuales se obtendrá el valor estimado, o pronóstico que buscamos realizar, mediante un cálculo realizado con una expresión sencilla. La primera se aplica a los valores observados en la serie de tiempo y la segunda a la serie atenuada obtenida mediante la primera atenuación.

Debido a que los valores calculados al realizar las dos primeras atenuaciones no son los datos estimados a obtener, es decir, que constituirán las inferencias de los valores que se espera que tome la serie de tiempo en el futuro cercano, usaremos una notación distinta a la de la expresión final con la cual se calculan los valores que constituyen en realidad el pronóstico.

Las expresiones son las siguientes:

Primera Suavización

Segunda Suavización

a

b

Pronostico

donde m representa el número de periodos hacia el futuro del que se pretende hacer el pronostico.

Tabla 3.12 Valores Pronosticados con el Método de la Suavización Exponencial Doble por el Método de Brown.
Tabla 3.12

Gráfica 3.7 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método de la Suavización Exponencial Doble por el Método de Brown.

Gráfica 3.7

Tabla 3.13 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Doble por el Método de Brown.

Tabla 3.13

Al utilizar este método se obtienen valores estimados de la tendencia que son muy sensibles a las variaciones aleatorias, debido a que se utiliza una sola constante de atenuación. Esta situación que no es deseable que se presente es la que Holt intenta resolver al proponer el siguiente modelo.

Método de Suavización Exponencial Ajustada a la Tendencia por el Método de Holt

Esta técnica también conocida como el método de los dos parámetros de Holt atenúa en forma directa la tendencia y la pendiente al utilizar una constante de atenuación diferente para cada una de ellas.

Primera Suavización

Con esta ecuación se atenúa la serie en forma exponencial de manera similar a como se hacia en el caso de la suavización exponencial simple, la diferencia radica en que se agrega un término para tomar en cuenta la tendencia.

La ecuación con la cual se estima la tendencia es la que sigue.

Estimación de la Tendencia

La estimación de la tendencia es calculada al obtener la diferencia entre los valores sucesivos de la atenuación exponencial Diferencia , ya que estos se atenuaron con fines de aleatoriedad, su diferencia constituye una estimación de la tendencia de los datos.

Y al final se obtiene el pronóstico para m periodos hacia el futuro por medio de la posterior expresión matemática.

Pronostico

en donde para las anteriores expresiones:

Valor Atenuado Es el valor atenuado.

Constante de Atenuación de los Valores de la Serie Es la constante de atenuación de los datos de la serie de tiempo.

Valor Real de la Serie en el tiempo t Es el valor real de la serie de tiempo en el periodo t.

Constante de Atenuación para Estimar la Tendencia Es la constante de atenuación utilizada para estimar la tendencia.

Tendencia Estimada Estimación de la tendencia.

Número de Periodos a Pronosticar Hacia el Futuro Es el número de periodos a pronosticar en el futuro.

”Pronostico" Es el pronóstico de m periodos hacia el futuro.

Método de Suavización Exponencial Cuadrática. Método de Brown



Este método se utiliza cuando se presenta una tendencia no lineal en la serie de tiempo, ya que las Métodosestudiadas con anterioridad arrojan resultados con un elevado error al intentar pronosticar este tipo de comportamiento en los datos.

Esta técnica consigue buenos resultados al pronosticar este tipo de series al realizar tres suavizaciones como se muestra a continuación en las expresiones matemáticas para realizar el cálculo de pronóstico.

Primera suavización

Primera Atenuación

Segunda suavización

Segunda Atenuación

Tercera suavización

Tercera Atenuación

Intercepto

Intercepto

Pendiente de la serie de tiempo

Pendiente de la Serie

Parámetro de no linearidad de segundo órden

Parámetro de No Linearidad

Pronóstico para el periodo Periodo

Pronostico

Como inicialización podemos usar:

Inicialización

Método de Suavización Exponencial Triple. Método de Winter



Ajuste a la Tendencia y a la Variación Estacional

Este método se utiliza cuando además de presentarse una tendencia lineal en la serie de tiempo, hay también un patrón de comportamiento de tipo estacional o periódico en los datos o valores de la serie de tiempo. Esta técnica es una extensión del método de Holt ya que incorpora una ecuación para calcular una estimación de la estacionalidad.

La estimación de la estacionalidad está dada por un índice estacional  Índice Estacional que se multiplica por la constante de atenuación  Constante de Atenuación de la Estimación de la estacionalidad , sumándose después a la estimación anterior Estimación Anterior. que se multiplica por 1 - y. Las siguientes expresiones matemáticas son las utilizadas para hacer los cálculos en esta técnica de pronóstico.

Atenuación de la serie de tiempo.

Atenuación de la Serie de Tiempo.

Estimación de la tendencia.

Estimación de la Tendencia.

Estimación de la estacionalidad.

Estimación de la Estacionalidad.

Pronóstico para p periodos en el futuro.

Pronóstico.

En donde:


Valor Atenuado de la Serie. Es el nuevo valor atenuado suavizado.

Constante de Atenuación. Es la constante de atenuación que toma valores en el intervalo Intervalo de Valores de Alpha.

Valor Real Observado de la Serie en el Momento t. Es la nueva observación o valor real de la serie en el momento t.

Constante de Atenuación de la Estimación de la Tendencia. Es la constante de atenuación de la estimación de la tendencia y toma valores en el intervalo Intervalo de Valores de Beta” BORDER=0>.

<BR><BR>

<IMG SRC=. Es la estimación de la tendencia.

Constante de Atenuación de la Estimación de la Estacionalidad. Es la constante de atenuación de la estimación de la estacionalidad y toma valores en el intervalo Intervalo de Valores de Gama” BORDER=0>.

<BR><BR>

<IMG SRC=. Es la estimación de la estacionalidad.

Número de Periodos a Pronosticar Hacia el Futuro. Es el número de periodos a pronosticar en el futuro.

Longitud de la Estacionalidad. Es la longitud de la estacionalidad.

Pronóstico. Es el pronóstico para p periodos en el futuro.


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