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Modelos de Pronóstico

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Método de Suavización Exponencial Simple

Esta técnica se basa en la atenuación de los valores de la serie de tiempo, obteniendo el promedio de estos de manera exponencial; es decir, los datos se ponderan dando un mayor peso a las observaciones más recientes y uno menor a las más antiguas. Al peso para ponderar la observación más reciente se le da el valor υ, la observación inmediata anterior se pondera con un peso de a (1 - υ), a la siguiente observación inmediata anterior se le da un peso de ponderación de a (1 - υ)2 y así sucesivamente hasta completar el número de valores observados en la serie de tiempo a tomar en cuenta para realizar la atenuación, es decir, para calcular el promedio ponderado. La estimación o pronóstico será el valor obtenido del cálculo del promedio. La expresión para realizar el cálculo de la atenuación exponencial es la siguiente.

Suavización Exponencial

Otra expresión equivalente a esta es la siguiente

Suavización Exponencial

otra forma de escribir esta expresión es la siguiente

Suavización Exponencial

en donde

Error

es el error ω

Error

El valor de a siempre se encuentra dentro del siguiente rango 0 < a > 1.

Cuando existe una clara y considerable tendencia lineal en los valores observados en una serie de tiempo, los pronósticos obtenidos mediante la suavización exponencial simple quedan rezagados aún al hacer variar el valor de alfa (Alfa), para estos casos se utilizan dos diferentes técnicas conocidas como el método de Brown y el de Holt.

En éste método así como también en todos los demás métodos de suavización exponencial que veremos más adelante se requiere de una inicialización, es decir necesitan asignarle un valor inicial a P1. Ya que si queremos calcular P2 necesitamos conocer el valor de P1. Si aplicamos la fórmula para encontrar P1 tenemos que:

ses_p1_exp1 como Xo y Po no existen es imposible obtener el valor de P1 . Por lo que es necesario recurrir a enfoques alternativos para estimar P1. El número y naturaleza de valores a inicializar depende del método de suavización que se esté utilizando. Si los datos son estacionales los valores iniciales para los factores estacionales se pueden calcular empleando algún método de descomposición, en el caso de que no hubiera datos suficientes para aplicar estos métodos, la inicialización de estos factores estacionales puede hacerse en base a estimaciones subjetivas o usando índices estacionales ya conocidos.

El nivel suavizado o promedio S y la componente T de la tendencia se pueden estimar usando una de las siguientes alternativas:

1. – Mínimos Cuadrados. Utilizando la técnica de los mínimos cuadrados podemos estimar los valores iniciales. Como por ejemplo para obtener P1 para el caso del método de la suavización exponencial simple; se podría usar el promedio de los 20 valores inmediatos pasados. Y para el caso del método de una suavización exponencial lineal se podrían obtener los valores de S y T resolviendo la ecuación para una línea recta obteniendo la ordenada al origen y la pendiente usando éstas como valores paramétricos iniciales es decir como los parámetros iniciales para S y T. Esto mismo se podría hacer en el método de la suavización exponencial amortiguada.

2. – Retro-predicción. Esta es la técnica empleada en la metodología de Box – Jenkins, pero también es posible utilizarla en los métodos de suavización exponencial. Esto consiste en invertir la serie de tiempo y comenzar el proceso de estimación a partir del último valor es decir el más reciente y terminarlo con el primer valor, es decir el valor más antiguo. De esta manera se obtendrán pronósticos o estimaciones para métricas para los primeros datos de la serie de tiempo que pueden ser utilizadas como valores iniciales para realizar el pronóstico de la serie de tiempo cuando se calcula éste de la manera normal, es decir empezando por el dato más antiguo al más reciente.

3. - Arbitraria. Cuando no se disponen de datos suficientes para estimar los valores iniciales o cuando el analista no considera de suma importancia disponer de valores iniciales muy apegados a la realidad, se pueden utilizar valores arbitrarios como valores iniciales para un método en particular de acuerdo al criterio del analista que realiza el pronóstico. Como por ejemplo para la suavización exponencial simple se podría utilizar como valor inicial:

P1=X1

como otro ejemplo para la suavización de Holt o para el suavizamiento amortiguado se podrían usar los valores siguientes como valores iniciales:

S1=X1

T1=X2-X1

e=0

Finalizando los ejemplos para la suavización de Winters podríamos asignar como valores iniciales los que se muestran a continuación:

S1=X'1

T1=X'2-X'1 en donde X'1 y X'2 son los valores desestacionalizados de X1 y X2 .

A continuación ilustraremos la aplicación del método de la suavización exponencial simple mediante el ejemplo siguiente.

Ejemplo: Para éste usaremos los datos de la Tabla 1.2 vista con anterioridad la cual muestra los valores observados de una serie de tiempo mensual estacionaria.

Tabla 1.2 Valores Observados de una Serie de Tiempo Mensual Estacionaria.
Tabla 1.2

Como valor de inicialización de P1 usaremos el primer valor observado en la serie de tiempo, es decir X1, que en este caso es 48. A alfa le asignaremos un valor de 0.5. Entonces el cálculo para el primer valor a pronosticar es:

Ejem1_SES_Exp_1

Ejem1_SES_Exp_2 para Ejem1_SES_Exp_3 queda como sigue abajo:

Ejem1_SES_Exp_4

Ejem1_SES_Exp_5 y de ésta misma manera se hace para calcular el resto de los pronósticos para los periodos de tiempo subsecuentes. En la siguiente tabla se muestran todos los valores pronosticados para el ejemplo que nos ocupa correspondientes a los valores observados de la serie de tiempo original, pero se podría seguir calculando sucesivamente pronósticos para periodos posteriores hasta donde deseáramos.

Tabla 3.8 Valores Pronosticados con el Método de la Suavización Exponencial Simple.
Tabla 3.8

En la gráfica posterior podemos ver cómo la curva descrita por los valores pronosticados sigue muy de cerca de la curva descrita por la serie de tiempo original a la cual que intenta pronosticar.

Gráfica 3.5 Grafica de Líneas de la Serie de Tiempo y de su Pronostico Obtenido con el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Gráfica 3.5

A continuación vemos en la tabla de abajo los valores obtenidos para éste ejemplo de las medidas de precisión de uso más frecuente.

Tabla 3.9 Medidas de Precisión Obtenidas al Aplicar el Método de la Suavización Exponencial Simple.

Tabla 3.9

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